¡Raíces primitivas módulo primos congruentes a n!

Question

<blockquote> <p>$N \ge 4$. Mostrar de números primos, % mod $p \equiv 1$% #% que ninguno de lo números $(N!)$ son las raíces primitivas módulo $1,2,...,N$</p> </blockquote> <p>No puedo averiguar donde empezar con esta pregunta, todo creo que puedo usar es el símbolo de Legendre y el criterio de Euler pero no he podido hacerlo. Cualquier ayuda sería mucho apreció.</p>

Answer 1

El primer $p$ es de la forma $8k+1$, lo $2$ es un residuo cuadrático de $p$.

A continuación se muestra que todos los impares primos $\le N$ también es un residuo cuadrático de $p$. De esto se sigue que cualquier entero $w$ cuyo primer divisores son $2$ y/o primos $\le N$ es un residuo cuadrático de $p$, y por lo tanto no es una raíz primitiva de $p$.

Un símbolo de Legendre de cálculo lo hace. Deje $q$ ser un extraño prime $\le N$. Por la Reciprocidad Cuadrática, el símbolo de Legendre $(q/p)$ es igual a $(p/q)$. Pero $p\equiv 1\pmod{q}$, y por lo tanto $(p/q)=(1/q)=1$.