Su formulación del problema, en términos de dos maneras para calcular el rango (analítico y algebraico), no es del todo correcto. Más bien la conjetura afirma que dos números son iguales.
Por un lado está el rango de la curva elíptica, que es como tú dices: el número de puntos racionales independientes de orden infinito. En el contexto de BSD, se le llama "el rango algebraico", $r_{alg}$ de la curva elíptica $E$ .
Entonces, hay otra cantidad adjunta a $E$ También es un número entero no negativo, pero de naturaleza muy diferente. Para describirlo, empezamos por definir el $L$ -función de $E$ , como un cierto producto de Euler (una serie de Dirichlet dada al tomar un producto indexado por los primos), denotado $L(E,s)$ que es holomorfo en el semiplano $\Re s > 3/2$ . Gracias a los resultados de modularidad de Wiles et. al. sabemos que esta función tiene continuación analítica en todo el plano complejo, por lo que, en particular, podemos considerar su orden de fuga en $s = 1$ . En el contexto de BSD, lo llamamos "el rango analítico", $r_{an}$ de $E$ . (Sin embargo, tenga en cuenta que esto es sólo un nombre; $r_{an}$ es no definido en términos del rango de cualquier grupo abeliano, sino que es el orden de fuga en $s = 1$ de una función completa; la única razón para llamarlo "rango" proviene de la conjetura BSD).
La conjetura de BSD es entonces que $r_{an} = r_{alg}$ En otras palabras, podemos determinar el rango de $E$ determinando el orden de desaparición de $L(E,s)$ en $s = 1$ . En mi opinión, la consecuencia más llamativa de esto es que $r_{an} > 0$ si y sólo si $r_{alg} > 0$ En otras palabras, podemos determinar (conjeturalmente) si $E$ tiene infinitos puntos racionales (es decir, tiene rango positivo) evaluando $L(E,1)$ y determinar si es o no igual a cero.
De hecho, se conoce una dirección de esta forma más débil de la conjetura: se sabe que si $L(E,1) \neq 0,$ entonces $E$ sólo tiene un número finito de puntos racionales; esto se debe a Gross, Zagier y Kolyvagin, con otra prueba más reciente de Kato.
(No voy a dar la definición de $L(E,s)$ aquí; puede encontrarlo en muchos lugares, incluso en el escrito de Wiles, estoy seguro, o simplemente buscando en Google "función L de la curva elíptica").
