Supongamos que una teoría T tiene un número contable de axiomas, ¿cuántos modelos de $T$ son de cardinalidad $\aleph_1$ , $\aleph_2$ , $\aleph_{\omega_1}$ ?

Question

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Dejemos que $\mathcal{L} = \{E\}$ donde $E$ es un símbolo de relación binaria. Sea $T$ sea el $\mathcal{L}$ -teoría de una relación de equivalencia con infinitas clases infinitas. Así que vemos $T$ tiene un número contable de axiomas. ¿Cuántos modelos de $T$ son de cardinalidad $\aleph_1$ , $\aleph_2$ , $\aleph_{\omega_1}$ ?

Problema

En primer lugar, me gustaría aclarar que por "modelo $\mathcal{M}$ de cardinalidad k", significa que el universo subyacente $\mathcal{M}$ tiene cardinalidad $k$ ¿correcto?

Mi siguiente confusión radica en la aritmética cardinal más que en otra cosa. Puedo ver $T$ sólo admite un modelo de cardinalidad $\aleph_0$ hasta el isomorfismo. Pero para $\aleph_1$ No sé cómo "contar" el número de modelos. Mi argumento es el siguiente.

por lo que tenemos $$\text{cardinality of each model} \times \text{cardinality of number of models} = \aleph_1.$$ Esta relación puede cumplirse si \begin{align*} &(\text{cardinality of each model} = \aleph_1) ~\vee~ (\text{cardinality of number of models} = \aleph_1)\\ &~\vee~ (\text{cardinality of each model} = \aleph_1 \wedge \text{cardinality of number of models} = \aleph_1). \end{align*}

Por lo tanto, tenemos tres "clases" de modelos que son isomórficos en sí mismos.

Pero esto se ve terriblemente mal. Por ejemplo, ¿existe la noción de multiplicación dentro y entre cardinalidades? ¿Podría alguien enseñarme a pensar en las diferentes cardinalidades de los infinitos?

Editar

Con respecto al caso aleph-omega-1. Mi problema es que no estoy familiarizado con la forma de contar hasta este tamaño. Veo que tenemos un continuo de opciones para el número de clases equivalentes, y un continuo de opciones para los tamaños de cada clase para que el resultado sume $\aleph_{\omega_1}$ . Pero si quisiera decir algo más satisfactorio que simplemente "el número de clases equivalentes es incontable", ¿cómo procedería?

¿Podría alguien explicarme cómo pensar en los conjuntos cuando son tan grandes? Todo lo que sé sobre $\aleph_{\omega_1}$ es que viene después de esta secuencia:

$$\aleph_0,\aleph_1,\ldots,\aleph_{\omega},\aleph_{\omega+1},\ldots,\aleph_{\omega_1}.$$

Apenas hay conocimientos para razonar.

Answer 1

Asumo que no se permiten clases de equivalencia finitas.

Un modelo $\mathcal{M}$ de esta teoría es básicamente una familia $\{E_\eta: \eta<\lambda\}$ de conjuntos (las clases de equivalencia), donde cada $E_\eta$ tiene cardinalidad $\lambda_\eta\ge\aleph_0$ .

EJERCICIO: dos modelos $\mathcal{M}=\{E_\eta: \eta<\lambda_0\}$ y $\mathcal{N}=\{F_\eta: \eta<\lambda_1\}$ son isomorfos si para cada $\theta$ , $$\vert\{\eta: \vert E_\eta\vert=\theta\}\vert=\vert\{\eta: \vert F_\eta\vert=\theta\}\vert,$$ es decir, si tienen el mismo número de clases de equivalencia de cada tamaño. Obsérvese que cada clase de equivalencia en $\mathcal{M}$ tiene como máximo la cardinalidad de $\mathcal{M}$ y hay a lo sumo cardenales de $\mathcal{M}$ -muchas clases de equivalencia en $\mathcal{M}$

Así que para contar los modelos, basta con contar el número de (números de clases de equivalencia de cada lado) que hay. Veamos $\aleph_1$ primero.

Hay dos tamaños posibles para las clases de equivalencia: $\aleph_0$ y $\aleph_1$ . Además, el número de clases de equivalencia de un tamaño determinado debe ser un número en $\{0, 1, 2, . . . , \aleph_0, \aleph_1\}.$ Así que hay como máximo $\aleph_0^2=\aleph_0$ muchos modelos posibles. Ahora, por supuesto, estamos contando demasiado - por ejemplo, no podemos tener 17 clases de equivalencia de cada cardinalidad infinita $\aleph_0$ y $\aleph_1$ ya que eso significaría que sólo hay un número finito de clases de equivalencia en total, pero nos da un límite superior.

EJERCICIO: demuestre que hay, de hecho, $\aleph_0$ -muchos modelos de $T$ de cardinalidad $\aleph_1$ . SUGERENCIA: ¿cuántos modelos hay de cardinalidad $\aleph_1$ que tienen $\aleph_0$ -muchas clases de equivalencia de tamaño $\aleph_0$ ?

Bien, sigamos. El límite superior que podemos abstraer del ejemplo anterior es $$B(\kappa)=C(\kappa)^{I(\kappa)},$$ donde $C(\kappa)$ es el número de cardenales menores o iguales a $\kappa$ y $I(\kappa)$ es el número de infinito cardenales $\le\kappa$ . Obsérvese que, en general, se trata de un límite superior deficiente, ya que el conjunto $\kappa=\aleph_0$ . Pero veámoslo de todos modos:

• $B(\aleph_1)=\aleph_0^2=\aleph_0$ .

• $B(\aleph_2)=\aleph_0^3=\aleph_0$ .

• $B(\aleph_3)=\aleph_0^4=\aleph_0$ .

Dado que cada $\aleph_n$ (para $n\in\omega$ ) sólo tiene un número contable de cardenales por debajo de ella, a saber, $0, 1, 2, . . . , \aleph_0, \aleph_1, . . . , \aleph_n$ - $B(\aleph_n)$ siempre es sólo $\aleph_0$ . EJERCICIO: este límite es agudo - es decir, el número de modelos de $T$ de tamaño $\aleph_n$ es exactamente $\aleph_0$ para cada $n\in\omega$ .

¿Qué hay de algo más desagradable, como $\aleph_{\omega_7+5}$ ? Bueno, $I(\aleph_{\omega_7+5})=\vert \omega_7+6\vert$ - en general, $I(\aleph_\alpha)=\vert \alpha+1\vert$ - así que $I(\aleph_{\omega_7+5})=\omega_7$ . Mientras tanto, tenga en cuenta que $C(\kappa)=I(\kappa)+\aleph_0$ por lo que en este caso tenemos $C(\aleph_{\omega_7+5})=I(\aleph_{\omega_7+5})=\omega_7$ - por lo que nos queda un límite superior de $B(\aleph_{\omega7+5})=\omega_7^{\omega_7}=2^{\omega_7}$ .

EJERCICIO: demuestre que esto es óptimo.

Dejaré el patrón general para que lo descubras, pero espero que esto te sirva para empezar.

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RETO: ¿qué tal algo "supersingular" como $\aleph_{\omega_{\omega_1}}$ ?