No, no es un espacio métrico completo: por el thm de Stone-Weierstrass sabemos que $|x|$ puede ser aproximada uniformemente por una secuencia de polinomios que son claramente $\mathcal{C}^1[0,1]$ pero $|x|$ no es $\mathcal{C}^1$ . ¿Es correcto mi argumento?
[ Añadido : Por $C[0,1]$ Me refiero al conjunto de funciones continuas $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ dotado de la métrica $d(f,g) = \max_{x \in [0,1]} |f(x)-g(x)|$ . Se trata de un espacio métrico completo según el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme].
Sí. Para recapitular: tienes un espacio métrico completo, $\mathcal{C}[0,1]$ y un subespacio, $\mathcal{C}^1[0,1]$ que no es cerrado (más bien, es propio y denso). Por lo tanto, $\mathcal{C}^1[0,1]$ no puede ser completa.
Añadido : Como señala t.b., la función de valor absoluto es $C^1$ en el intervalo $[0,1]$ Por lo tanto, deberías elegir otra cosa (por ejemplo, lo que dice t.b.). También estoy de acuerdo en que la aproximación de Weierstrass es mucho más de lo que necesitas aquí. Por ejemplo, en el ejemplo 7 de estas notas Demuestro -de forma intencionadamente tosca y práctica- que la función de valor absoluto es un límite uniforme de $C^1$ -funciones en $[-1,1]$ .
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Como señala Pete en su respuesta el idea puede convertirse en un argumento (aunque yo mismo no aplicaría Stone-Weierstrass, eso es bastante exagerado para esta cuestión). Sin embargo, debería elegir otra función, por ejemplo $x \mapsto |x-1/2|$ (que usted puede se aproximan uniformemente por polinomios explícitos --¿Cómo?) Tenga en cuenta que la función $|x| = x$ en $[0,1]$ es $C^1$ .
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Nótese que, la convergencia uniforme preserva la continuidad, pero no preserva la diferenciabilidad.
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Por lo que mi argumento es incorrecto en $[0,1]$ :( pero no sé cómo probar el resultado que el Sr. Pete ha escrito en su respuesta
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@Patience: Cambiando de $|x|$ para (decir) $|x-\frac{1}{2}|$ parece un ajuste menor. ¿Hay algo más en mi respuesta que no entiendas?
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Cómo mostrar $C[0,1]$ es denso en $C^1[0,1]$ ?
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@Patience: Más bien $C^1[0,1]$ es denso en $C[0,1]$ . Como dices, por aproximación de Weierstrass, el subespacio $\mathcal{P}[0,1]$ de $C[0,1]$ es denso. Como $\mathcal{P}[0,1] \subset C^1[0,1] \subset C[0,1]$ También $C^1[0,1]$ es denso.
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Ohh gracias por la ayuda