Lema 1 Dejemos que $A$ sea un dominio débilmente artiniano integralmente cerrado. Sea $S$ sea un subconjunto multiplicativo de $A$ . Sea $A_S$ sea la localización con respecto a $S$ . Entonces $A_S$ es un dominio débilmente artiniano integralmente cerrado.
Prueba de ello: Sea $K$ sea el campo de fracciones de $A$ . Supongamos que $x \in K$ es integral sobre $A_S$ . $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$ , donde $a_i \in A_S$ . Por lo tanto, existe $s \in S$ tal que $sx$ es integral sobre $A$ . Desde $A$ es integralmente cerrado, $sx \in A$ . Por lo tanto, $x \in A_S$ . Por lo tanto, $A_S$ es integralmente cerrado.
Dejemos que $f$ sea un elemento no nulo de $A_S$ . $f = a/s$ , donde $a \in A, s \in S$ . Entonces $fA_S = aA_S$ . Por este , $aA$ es un producto de ideales primos de $A$ . Sea $P$ sea un ideal primo no nulo $P$ de $A$ . Desde $P$ es máxima, $A_S/P^nA_S$ es isomorfo a $A/P^n$ o $0$ . Por lo tanto, $leng_{A_S} A_S/aA_S$ es finito. QED
Lema 2 Dejemos que $A$ sea un dominio débilmente artiniano integralmente cerrado. Sea $P$ sea un ideal primo no nulo de $A$ . Entonces $A_P$ es un anillo de valoración discreto.
Prueba: Por el lema 1 y este todo ideal no nulo de $A_P$ tiene una factorización única como producto de ideales primos. Por lo tanto, $PA_P \neq P^2A_p$ . Sea $x \in PA_P - P^2A_P$ . Desde $PA_P$ es el único ideal primo no nulo de $A_P$ , $xA = PA_P$ . Como todo ideal no nulo de $A_P$ se puede escribir $P^nA_P$ , $A_P$ es un dominio ideal principal. Por lo tanto, $A_P$ es un anillo de valoración discreto. QED
Prueba del teorema del título Podemos suponer que $P \neq 0$ . Sea $C$ sea el cierre integral de $B$ en $L$ . Por este , $C$ es un débilmente Artiniano $A$ -en el sentido de la definición 2 de mi respuesta a este . Por el lema 2 de mi respuesta a este , $C$ es un anillo débilmente artiniano. Sea $S = B - P$ . Sea $C_P$ y $B_P$ sean las localizaciones de $C$ y $B$ con respecto a $S$ respectivamente. En este , $leng_A C/PC$ es finito. Por lo tanto, por el lema 7 de mi respuesta a este , $C/PC$ se genera finitamente como un $A$ -modulo.Hence $C/PC$ se genera finitamente como un $B$ -módulo. Por lo tanto, $C_P/PC_P$ se genera finitamente como un $B_P$ -módulo. Dado que $PC_P \neq C_P$ por el lema de la respuesta de QiL a este existe un ideal máximo de $C_P/PC_P$ cuya preimagen es $PB_P$ . Por lo tanto, existe un ideal máximo $Q$ de $C_P$ tal que $PB_P = Q \cap B_P$ . Sea $Q' = Q \cap C$ . Entonces $Q'$ es un ideal primo de $C$ que se encuentra encima de $P$ . Por el lema 2, $C_Q'$ es un anillo de valoración discreto y domina $B_P$ . QED
