Nombre para la propiedad "elasticidad densidad de probabilidad"?

Question

Para la normal estándar Z, el cambio en la densidad de probabilidad asociada con igual tamaño de los cambios en z es obviamente mayor para valores de z que se encuentran muy lejos de la media/modo.

Por ejemplo, si z=0,$\phi(z)- \phi(z+0.1)\approx 0.002$. Sin embargo, si z=2, entonces el $\phi(z)-\phi(z+0.1) \approx 0.01$. Por lo tanto el cambio de densidad asociada con el incremento de z 0,01 es 5 veces mayor en el último caso.

Tengo dos preguntas relacionadas con este.

1. ¿Esta propiedad (o una propiedad similar) tiene un nombre? (Es decir, la propiedad, donde para la rv X con PDF f y el valor de la media $\bar{x}$: $\frac{\partial f(x)}{\partial x}<\frac{\partial f(x^o)}{x^o}$ al $\lvert x^o- \bar{x} \rvert >\lvert x- \bar{x} \rvert$.) ¿Esta idea general - que es la medida en que el PDF derivado de los cambios sobre la distribución del apoyo - tiene un nombre?

2. Son las distribuciones de probabilidad con esta propiedad (o una propiedad similar) de manera sistemática se clasifican? Pueden ser identificados en algunos de manera sencilla? Obviamente, todas las distribuciones normales, sino de hacer todo unimodal continua finito de las distribuciones?

Me pregunto porque estoy trabajando con un hallazgo que es dependiente de la anterior propiedad y me gustaría averiguar la mejor manera de sucintamente hablar de ello, y también la forma de pensar con precisión y se informe acerca de su generalidad (o falta de ella).

Answer 1

Nota (procedimiento de algo vagamente y asumiendo la necesaria derivados de existir y así sucesivamente para que todo funcione) que $f(x+\delta)\approx f(x) + \delta f'(x)$ (por ejemplo, considere la posibilidad de una expansión de Taylor de primer orden) y por lo que la tasa de variación $\frac{f(x+\delta)-f(x)}{x+\delta-x}\approx f'(x)$. De hecho, en el límite de $\delta$ se convierte en pequeñas, este va a ser el resultado.

Por lo que efectivamente está diciendo: "¿por qué es $|\phi'(x)|$ $x=0$ menor que en otros lugares?".

La respuesta es que la función de $\phi(x)$ plano cuando estás en la cima de la colina (cualquier modo de un continuamente diferenciable densidad):

La normal tiene un solo modo. La derivada es $0$ no, y distinto de cero en todas las demás. Echemos un vistazo a una parcela de $|\phi'(x)|$:

Claramente es más grande en todas partes que en el modo (= media = 0).

Esta función (el valor absoluto de la derivada de la densidad) no tiene ningún nombre en particular soy consciente de.

La absoluta derivada de cualquier otro normal seguirá el mismo patrón sobre su modo.

Obviamente, todas las distribuciones normales, sino de hacer todo unimodal continua finito de las distribuciones?

No. En primer lugar tenemos que decir que la media/modo. En general, la media y la moda no están en el mismo lugar. El medio puede ser situado en un lugar donde la derivada es grande. Así que deja de centrarse en el modo.

• Es perfectamente posible tener un unimodal densidad donde la derivada es 0 no en un modo.