Prueba $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}\iff a^{2}-b$ es un cuadrado

Question

Este es un ejercicio para el libro Álgebra Abstracta de Dummit y Foote (pág. 530):

Dejemos que $F$ sea un campo de característica $\neq2$ . Sea $a,b\in F$ con $b$ no una plaza en $F$ . Prueba $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}$ para algunos $m,n\in F$ si $a^{2}-b$ es un cuadrado en $F$ .

Tengo problemas para probar esta afirmación, traté de asumir $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{m}+\sqrt{n}$ y naturalmente cuadré ambos lados, para tratar de conseguir $a^{2}$ He cuadrado ambos lados de nuevo y luego reduje $2b$ de ambos lados y reordenado para obtener $$a^{2}-b=(m+n+2\sqrt{mn})^{2}-2\sqrt{b}(a+\sqrt{b})$$ pero No veo cómo puedo usarlo.

¿Puede alguien ayudarme a demostrar esta afirmación?

Answer 1

$$\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$$ $$a+\sqrt{b} = m+n+2\sqrt{mn}$$ Así, $a = m+n$ y $b = 4mn$ como $b$ no es un cuadrado. Finalmente, $$a^2 -b = m^2 + 2mn + n^2 -4mn = (m-n)^2$$ .

Answer 2

$$\sqrt{a+\sqrt b}=\sqrt m + \sqrt n \Rightarrow a+\sqrt b = m+n+2\sqrt{mn}$$ Desde $\phi(\alpha+\beta\sqrt b)=\alpha-\beta\sqrt b$ para $\alpha,\beta\in F$ define un automorfismo $\phi\colon F[\sqrt b]\to F[\sqrt b]$ que deja $F$ arreglado, tenemos que $\phi(\sqrt{mn})= \pm\sqrt{mn}$ porque $\phi$ mapea el polinomio $X^2-mn$ a sí mismo y puede, como máximo, intercambiar sus raíces. Por lo tanto, obtenemos adicionalmente $a-\sqrt b=\phi(a+\sqrt b)=\phi(m+n+2\sqrt{mn})$ es decir $$a-\sqrt b=m+n\pm2\sqrt{mn}.$$ Desde $\sqrt b\ne -\sqrt b$ (característica $\ne 2$ ), los lados de la izquierda difieren, por lo que también lo hacen los lados de la derecha, por lo que " $\pm$ " es realmente " $-$ ". Sumando y restando estas ecuaciones encontramos que $a=m+n$ y $\sqrt b =2\sqrt{mn}$ . Por lo tanto, $m,n$ son raíces de $0=X^2-(m+n)X+mn=X^2-a X+\frac b4$ y se puede encontrar como $$\frac{a\pm\sqrt{a^2-b}}2$$ Más concretamente:

• Si $a^2-b$ es un cuadrado, esto produce realmente $m,n\in F$ con la propiedad de que $(\sqrt m +\sqrt n)^2=a+\sqrt b$ es decir $\sqrt m + \sqrt n$ es una raíz de $X^2-(a+\sqrt b)$ como se desee.
• Si $a^2-b$ no es un cuadrado, no hay soluciones para $m,n$ existen en $F$ .

Answer 3

Dejemos que $F$ sea un campo de característica diferente de 2. Sea $a$ y $b$ sean elementos del campo $F$ con $b$ no es un cuadrado en F. Demuestre que una condición necesaria y suficiente para $\sqrt{a+\sqrt{b}}={\sqrt{m}+\sqrt{n}}$ para $m,n\in F$ es que $a^2-b$ es un cuadrado en $F.$

Solución. $\Rightarrow:$ Supongamos que $a^2-b$ es un cuadrado en $F$ . Entonces $\sqrt{a^2-b}\in F.$ Dejemos que $$m= \frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}$$ y $$n= \frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}.$$ Entonces $n,m\in F$ porque $\textrm{char}\, F\neq 0.$

$\Leftarrow:$ Ahora $$m =\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2} = \frac{(a+\sqrt{b})+2\sqrt{a^2-b}+(a-\sqrt{b})}{4} = \left( \frac{\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}}}{2} \right)^2,$$ esto significa que $$\sqrt{m}=\frac{\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}}}{2}.$$

También $$n =\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2} = \frac{(a+\sqrt{b})-2\sqrt{a^2-b}+(a-\sqrt{b})}{4} = \left( \frac{\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}}{2} \right)^2,$$ esto significa que $$\sqrt{n}=\frac{\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}}{2}.$$

Así, $$\sqrt{m}+\sqrt{n} =\frac{\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}}}{2}+\frac{\sqrt{a+\sqrt{b}}-\sqrt{a-\sqrt{b}}}{2} = \sqrt{a+\sqrt{b}}.$$

Answer 4

Sugerencia $\rm\,\ \left[\sqrt{a+\sqrt b}\,=\,\sqrt m + \sqrt n\right]^2\! \Rightarrow\: a+\sqrt b \,=\, m\!+\!n+2\sqrt{mn}\in F[\sqrt{b}].\:$ Así, tomando las "normas" $\rm\:a^2 - b\, =\, (m+n)^2 - 4mn = (m-n)^2,\:$ donde norma = término constante del polinomio mínimo.