Pregunta de examen en análisis Real

Question

Para una función continua $f$ $[0,1]$, $\int_0^1f^3(x)x^ndx = 0 $ para cada número entero $n \geq 1$. Prueba $\int_0^1f^4(x)dx = 0 $. (donde $f^n(x)$ es la potencia n-ésima de $f$). Y por lo tanto, $f = 0$.

Soy capaz de demostrar la segunda parte es decir $\int_0^1f^4(x)dx = 0 \Rightarrow$ $f = 0$, pero la primera parte se me escapa.

Cualquier sugerencias son bienvenidas. Gracias por sus esfuerzos.

Answer 1

Vamos a aproximar $f^3$ por polinomios $p_n$. $$ \| f-p_n \|_\infty \leq \frac1{n} $$ $f^3$ es continuo, de modo que tenemos $M>0$ que $$ \| f^3 \|_\infty \leq M $$ Ahora $$ 0 = \int f^3 p_n = \int (f^3 - p_n + p_n) p_n = \int (f^3 - p_n) p_n + \int p^2_n $$ de esto podemos obtener la desigualdad $$ \left| \int p^2_n \right| \leq \int \left|(f^3 - p_n) p_n \right| \leq 1 \cdot \frac1{n} \cdot (M+1) \rightarrow 0 \text{ como } n\rightarrow \infty $$ debido a $p_n$ convergen uniformemente a $f^3$ obtenemos que $$ \int p^2_n \desbordado{n\rightarrow \infty}{\rightarrow} \int f^6 = 0 $$

Me mostró que $\int f^6 = 0$ e no $\int f^4 = 0$, pero a partir de este punto el argumento de $f=0$ debe ser el mismo.