Superficie de un cono en un cilindro

Question

Dado que el cono $z^2=x^2+y^2$, $z\geq 0$ y el cilindro $z^2+y^2=64$

Estoy buscando para el área de la superficie de la sección del cono interior del cilindro.

Me puede parametrizar el cono como:

$r(t,\theta)=\langle tcos(\theta), tsin(\theta), t \rangle$

El cono me da la desigualdad:

$z^2 \leq 64-y^2 \iff z \leq \sqrt{64-y^2}$ (desde $z \geq 0$)

Plugin en los valores de la configuración de parámetros:

$t^2 \leq 64-t^2\sin^2(\theta) \iff t \leq \frac{8}{\sqrt{sin^2(\theta)+1}}$

Sé el Jacobiano de las derivadas parciales es:

$|r_\theta\times r_t| = \sqrt2t$

Por lo tanto el área de la superficie debe ser:

$\int^{2\pi}_0\int^{\sqrt{\frac{8}{sin^2(\theta)+1}}}_0\sqrt2t$ $dt d\theta$

Sin embargo, con este método me terminan tratando de integrar los $\frac{1}{sin^2(\theta)+1}$ con respecto al $\theta$ el que no sólo yo no sé cómo hacerlo, pero me hace pensar en mi método está mal.

EDIT: intento de calcular la integral con la ayuda de wolfram me dice que el área de la superficie es 0, que es trivialmente falso. Por lo que he hecho algo mal.

Answer 1

Si usted insiste en resolver el problema usando parametrización, intente dar sentido a la siguiente pista.

Sugerencia: Una parametrización de la superficie puede ser dado por\begin{align} \phi(u, v) = (8u\cos v, 4\sqrt{2} u \sin v, u \sqrt{32+32\cos^2 v}) \end {Alinee el} donde $0\leq u \leq 1$ y $0\leq v\leq 2\pi$. Recuerde comprobar que $|\phi_u\times \phi_v| = 64 u$.

Sugerencia adicional: Parametriza el límite de su cono generalizado, entonces "conéctelo al origen" por "escala".

Answer 2

Tenga en cuenta que la intersección de a $x,y$ valores de lo que las dos superficies $$ z^2=x^2+y^2,\z\geq 0\;\text{y}\;z^2+y^2=64\implica \frac{y^2}{(4\sqrt{2})^2}+\frac{x^2}{8^2}=1 $$ Por lo que la proyección de la superficie delimitada por la intersección del cilindro y el cono está dada por $$ D=\left\{x,y:\frac{y^2}{(4\sqrt{2})^2}+\frac{x^2}{8^2}\leq 1\right\} $$ o una elipse con eje mayor $8$ y el eje menor $4\sqrt{2}$. La normal para el cono es $$ \left(\frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac {y}{\sqrt{x^2+y^2}},1 \right) $$ que tiene la norma $ \sqrt{2}$, por lo que su superficie es integral $$ \sqrt{2}\int\int_{D}\mathrm dA=\sqrt{2}\pi(4\sqrt{2})(8)=64\pi $$