Ayuda a obtener la varianza de$Y$

Question

Tenemos$Z \sim N(0,1)$ y$Y=a+bZ+cZ^2$. ¿Cuál es la varianza de$Y$?

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Esto es lo que hice:

ps

Para obtener$$\mbox{Var} (Y)=0+b^2 \, \mbox{Var} (Z)+c^2 \, \mbox{Var} (Z^2) = b^2 + c^2 \, \mbox{Var} (Z^2)$, traté de usar la definición$\mbox{Var} (Z^2)$, pero estoy teniendo problemas con esta parte. Si esto fue algo extraño, por ejemplo,$\mbox{Var} (Z^2)= \mathbb E(Z^4)-\mathbb E^2(Z^2)$, puede decirlo debido a la simetría de la distribución normal$\mathbb E(Z^3)$, pero en este caso se trata de un par.

Answer 1

Solución 1: mirar hacia arriba.

Escribir

$$Y = c\left(Z - \frac{b}{2c}\right)^2 + a - \frac{b^2}{4c}.$$

Desde $Z-\frac{b}{c}$ Normal$(-b/c, 1)$ distribución, su cuadrado tiene un no-central de chi-cuadrado de distribución con un grado de libertad y noncentrality parámetro

$$\lambda = \left(-\frac{b}{2c}\right)^2.$$

Su varianza por lo tanto es $2(1 + 2\lambda)$. En consecuencia, la varianza de la $Y$ $c^2$ veces que, reduciendo a

$$\operatorname{Var}(Y) = c^2 2(1 + 2\lambda) = b^2 + 2c^2.$$

Solución 2: calcular.

Utilizar el conocido (y fácilmente derivados) resultado de que $\mathbb{E}(Z^4) = 3$ así como los valores obvios $\mathbb{E}(Z^3)=\mathbb{E}(Z) = 0, \mathbb{E}(Z^2)=1$. A partir de la definición de la varianza, ampliar las expresiones en sumas de términos más sencillos y el uso de la linealidad de la expectativa de simplificar:

$$\eqalign{ \operatorname{Var}(Y) &= \operatorname{Var}(cZ^2 + bZ + a) \\ &= \mathbb{E}((cZ^2 + bZ + a)^2) - (\mathbb{E}(cZ^2 + bZ + a))^2 \\ &= \mathbb{E}((c^2Z^4 + 2bcZ^3 + (2ac+b^2)Z^2 + 2abZ + a^2) - (c + 0 + a)^2 \\ &= 3c^2 + 0 + (2ac+b^2) + 0 + a^2 - b^2 + c^2 + 2ac) \\ y= b^2 + 2c^2. }$$

Solución 3: explotar identidades básicas.

Esta respuesta sólo utiliza las propiedades básicas de la covarianza y la independencia, los valores de los dos momentos de $Z$ (media y varianza), y el hecho de que no correlacionados de forma conjunta las distribuciones Normales son independientes.

Deje $Z$ $W$ de forma independiente han estándar de las distribuciones Normales. A continuación, las dos variables $Z\pm W$ conjunta de distribuciones Normales con cero de la media y la varianza $2$. Esto es equivalente a tener la misma distribución en $Z$, multiplicado por el $\sqrt{2}$. Así

$$\operatorname{Var}((Z\pm W)^2) = \operatorname{Var}((\sqrt{2}Z)^2) = \operatorname{Var}(2Z^2) = 4\operatorname{Var}(Z^2).$$

Por otra parte, desde

$$\operatorname{Cov}(Z+W, Z-W) = \operatorname{Var}(Z) - \operatorname{Var}(W) = 1-1=0,$$

$Z\pm W$ no están correlacionados, lo que implica que son independientes. En consecuencia,$(Z\pm W)^2$, ya que son funciones de las variables independientes, también son independientes. Su covarianza debe ser cero. Por lo tanto

$$8\operatorname{Var}(Z^2) = \operatorname{Var}((Z+W)^2 - (Z-W)^2) = \operatorname{Var}(4ZW) = 16 \operatorname{Var}(Z)\operatorname{Var}(W)=16,$$

mostrando que

$$\operatorname{Var}(Z^2) = \frac{16}{8} = 2.$$

Por último, tenga en cuenta que debido a $(Z, Z^2)$ $(-Z, Z^2)$ tienen distribuciones idénticas, tienen igualdad de covarianzas; pero desde sus covarianzas debe ser negativos de cada uno de los otros, sus covarianzas son ambos cero:

$$\operatorname{Cov}(Z^2, Z) = -\operatorname{Cov}(Z^2, Z) = 0.$$

Ahora

$$\operatorname{Var}(cZ^2 + bZ + a) = c^2\operatorname{Var}(Z^2) + b^2 \operatorname{Var}(Z) + 2bc \operatorname{Cov}(Z^2, Z) = 2c^2 + b^2.$$