Que $X$ ser un $\sigma$-compacto y espacio localmente compacto, y que $\Lambda:C(X)\rightarrow \mathbb{C}$ un lineal funcional tal que $\Lambda(f)\ge0$ si $f\ge0$. ¿Cómo demostrar que existe exactamente un Borel regular medida $\mu$ Compact apoyan tal que $\Lambda(f)=\int_{X}fd\mu$ cada $f\in C(X)$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí una idea que, sin todos los detalles.
Reclamo: Supongamos que $f_n:X \to [0,\infty)$, es una secuencia continua, positiva funciones tales que, para cada una de las $x \in X$, existe una vecindad de a $x$ en la que todos, pero un número finito de $f_n$ son idénticamente cero. Entonces, existe un número $N$ tal que $n > N$ implica $\Lambda(f_n) = 0$.
Prueba: Por la finitud de la asunción, la suma de $S = \sum f_n$ hace sentido y es otra continua, función positiva $X \to [0,\infty)$. Tenga en cuenta que, para cada una de las $n$, $S \geq S_n$ donde $S_n$ $n$ésima suma parcial de la serie. Así que, por la positividad de la funcional $\Lambda$,$\Lambda(S) \geq \Lambda(S_n) = \sum_n \Lambda(f_n)$, lo que, dado que los términos de el último de la serie son positivos, implica que $\lim \Lambda(f_n)=0$. De hecho, me dicen que hay un $N$ tal que $n > N$ implica $\Lambda(f_n) = 0$. De hecho, si este no fuera el caso, entonces podríamos multiplicar las funciones de $f_n$ por una lo suficientemente rápido crecimiento de la secuencia de constantes $C_n>0$ con el fin de obtener una nueva secuencia de funciones $C_n f_n$, siendo la satisfacción de las hipótesis de la demanda, pero no ha $\lim_{n \to \infty} \Lambda(C_n f_n) = \lim_{n \to \infty} C_n \Lambda(f_n) = 0$, contradiciendo lo que acaba de ser probada.
Desde $X$ $\sigma$- compacto, localmente compacto Hausdorff espacio, uno debería ser capaz de construir contables de la partición de la unidad, que consta de compacta-las funciones compatibles. Una aplicación de la reclamación debe ser suficiente para demostrar que el funcional es "compacto-compatible" suficientemente sentido útil para terminar el problema.
