Encontrar todos los números $n$ tal que $\frac{6n-8}{2n-5}$ puede ' t reducirse.

Question

<blockquote> <p>Encontrar todos los números $n$ tal que $\frac{6n-8}{2n-5}$ no puede ser reducido.</p> </blockquote> <p><em>Tentativa:</em></p> <p>No puede ser reducido cuando $\gcd(6n-8,2n-5)=\color{red}1$</p> <p>$$1 = \gcd(6n-8,2n-5)=\gcd(4n-3,2n-5)=\gcd(2n+2,2n-5)=\gcd(7,2n-5)$$</p> <p>que es equale para un cuando $2n-5\not\equiv 0 \pmod 7$es decir $n\not\equiv 6 \pmod 7$</p> <p>¿Es correcta mi intento?</p>

Answer 1

Sí, es correcto. Por cierto puedes $1 = \gcd(6n - 8, 2n - 5) = \gcd(7, 2n - 5)$ directamente por la aplicación en paso del Algoritmo euclidiano.

Answer 2

Su intento es totalmente correcto. Podría ser divertido comprobar lo que sucede cuando $n \equiv 6 \pmod{7}.$ en este caso se puede escribir $n = 6 + 7k$ $k$. Entonces la fracción se puede escribir como 8 $$ \frac{6(6+7k)} {2(6+7k)-5} = \frac {28 +42 k} {7 +14 k} = \frac {4 +6 k} {1 +2 k}. $$ Por el mismo argumento que el suyo encontramos que $$\gcd(4+6k,1+2k)=\gcd(1,1+2k)=1$ $ % los $k$. Ya sabíamos de sus resultados que esto ha de ser el caso por supuesto.