Supongamos que hemos $m$-dimensiones suave topológico colector $M$. Deje $(U,\varphi)$ $(V,\psi)$ ser dos gráficos en el colector y la $U \cap V \neq \emptyset$. Para un punto de $p \in U \cap V$, luego tenemos dos sistemas de coordenadas: \begin{equation} \varphi: U \to \mathbb{R}^m \;\;\; \text{and} \;\;\; \psi: V \to \mathbb{R}^m \end{equation} Por lo tanto, podemos cambiar de coordenadas mediante el uso de la transición mapa de $\varphi \circ \psi^{-1}$. Esto se considera un pasivo de transformación de coordenadas.
Por otro lado, podemos usar un diffeomorphism, $\phi : M \to M$, para cambiar el colector de sí mismo, lo que resultará en un nuevo sistema de coordenadas. Esto es considerado como un activo de transformación de coordenadas.
Ahora, en mis cursos de física que siempre he aprendido que los activos y pasivos de las transformaciones son exactamente el mismo, y es sólo una cuestión de convención, que uno que elija. Sin embargo, lo anterior parece sugerir que es siempre posible cambio de coordenadas a través de una transformación activa, mientras que sólo es posible hacer un pasivo de transformación de coordenadas si al menos dos conjuntos se superponen unos a otros. ¿Es esto cierto? O es también posible para hacer de alguna manera un pasivo de transformación de coordenadas si el abrir los conjuntos que no se superponen.
Supongo que, una diferente a la redacción de esta pregunta sería:
Para cualquier gráfico de $(U,\varphi)$, se nos permite cambiar el homeomórficos mapa de $\varphi$ a otro del mapa con el fin de obtener un sistema de coordenadas diferente? I. e. es el mapa de $\varphi$ correspondiente a $U$ único, o podemos asociar varios mapas con $U$?
He tratado de razón que de hecho somos capaces de elegir siempre un mapa diferente, pero no estoy seguro y ninguno de los libros que tengo la mención expresa de esta última.
