encuentre los valores propios de la matriz$5×5$

Question

El producto de los valores propios distintos de cero de la matriz es ____.

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usando la ecuación característica, es demasiado largo para encontrar valores propios de matriz$5×5$, estoy buscando cualquier truco para resolver esta pregunta.

Answer 1

Sugerencia : tenga en cuenta que$(1,0,0,0,1)^T$ y$(0,1,1,1,0)^T$ son vectores propios por inspección. ¿Cuáles son sus valores propios correspondientes? (Solo necesita calcular$Av$ para cada uno de los anteriores). Ahora observe que la matriz tiene solo$2$ columnas linealmente independientes, por lo que su núcleo tiene la dimensión$3$. Por lo tanto,$0$ también es un valor propio con multiplicidad$3$.

Answer 2

Deje $A$ $B$ respectivamente de las siguientes matrices:

A continuación, $A= B +I_5$ donde $I_5$ es la matriz identidad.

Puesto que B y me desplazamientos, a continuación, el $eigenvalues(A)=eigenvalues(B) +eigenvalues(I_5)$ (con el mismo orden), que es $eigenvalue(A)=eigenvalue(B) +1$ (para cada valor propio de B).

Ahora desplazamientos de los autovalores de a $B$ es fácil, ya que en la primera fila sólo tenemos uno distinto de cero de la entrada.

Answer 3

Insinuación

Tenga en cuenta que$\left(\begin{align}1 \\ 0 \\ 0\\ 0\\ 1\end{align}\right)$ y$\left(\begin{align}1 \\ 0 \\ 0\\ 0\\ -1\end{align}\right)$ son dos autovectores linealmente independientes.

También tenga en cuenta que

$\left(\begin{align}0 \\ 1 \\ 1\\ 1\\ 0\end{align}\right),$$\left(\begin{align}0 \\ -2 \\ 1\\ 1\\ 0\end{align}\right)$ y$\left(\begin{align}0 \\ 1 \\ 1\\ -2\\ 0\end{align}\right)$ son tres autovectores linealmente independientes.