Lo que has definido no es un functor, covariante o contravariante. Dejemos que $S$ sea un conjunto infinito y $f : S \to 1$ el mapa único. A continuación, $\mathbb{Z} f$ no existe. (Es necesario exigir que $f$ es adecuado es decir, que la preimagen de un conjunto finito es finita).
El functor de grupo abeliano libre es covariante. Ha asignado lo correcto a los objetos (más o menos) pero no a los morfismos. El functor de grupo abeliano libre asigna a un conjunto $S$ el grupo abeliano $\mathbb{Z}[S]$ de combinaciones lineales formales $$\sum_{s \in S} c_s s, c_s \in \mathbb{Z}$$
y asigna a una función $f : S \to T$ el homomorfismo $\mathbb{Z}[f]$ enviando $\sum c_s s$ a $\sum c_s f(s)$ . En esta configuración, el homomorfismo que se quería asignar a una función $g : T \to S$ envía $\sum c_s s$ a $$\sum c_s \sum_{g(t) = s} t$$
y por supuesto esto no está bien definido si $\{ t : g(t) = s \}$ es infinito. Este deseo de "integrar sobre" las imágenes inversas aparece en otros contextos (por ejemplo pullbacks en homología de los cuales éste puede considerarse un ejemplo de juguete (el $H_0$ de espacios discretos)) pero no estoy bien calificado para discutirlos.
Esta cuestión es precisamente la razón por la que me molesta que la gente llame $\mathbb{Z}^S$ el grupo abeliano libre en $S$ cuando $S$ es finito: la asignación $S \to \mathbb{Z}^S$ debería ser contravariante, no covariante.
Editar: La comparación con la homología podría ser valiosa para contextualizar esta discusión. Si $S$ es un conjunto considerado como un espacio discreto, $\mathbb{Z}[S]$ es la homología cero $H_0(S)$ mientras que $\mathbb{Z}^S$ es la cohomología zeroth $H^0(S)$ en particular, la primera es covariante mientras que la segunda es contravariante. El hecho de que para $S$ finito podemos identificar los dos se puede pensar entonces como un caso muy especial de Dualidad de Poincaré lo cual pone de manifiesto que la finitud de $S$ es esencial aquí.
