Encontrar el área dentro de una curva definida implícitamente $x^2 + (y + \sqrt[3]{|x|})^2=1$

Question

Necesita ayuda para encontrar el área dentro de un implícitamente definida por la curva de $x^2 + (y + \sqrt[3]{|x|})^2=1$. (Creo que es una forma de corazón). He estado tratando de parametrizar con ninguna suerte. También he intentado restringir mi atención a $0 \leq x \leq 1$ y hacer una integral contra la $y$ eje $y=-1$ $y=1$(desde $x$ es una función de $y$ en ese intervalo) y, a continuación, añadir a la zona de la curva en $1 \leq y \leq 1.7$, lo que yo haría con otro integral, pero en contra de $x$ este tiempo.

Ninguno de estos han trabajado, porque es difícil para reorganizar lo suficientemente bien como para conseguir $y$ o $x$ solo en un lado.

¿Cómo usted va sobre la resolución de este? Hay una casa de parametrización que me falta? También, creo que la zona es $\pi$ pero no sé cómo descubrieron que.

Answer 1

Encontrar la parte superior e inferior de la curva en términos de $x$. $$x^2 + (y + \sqrt[3]{|x|})^2=1\ (y + \sqrt[3]{|x|})^2=1-x^2\y + \sqrt[3]{|x|}=\pm\sqrt{1-x^2}\y=\pm\sqrt{1-x^2}-\sqrt[3]{|x|}$ $ Tenga en cuenta que la curva es simétrica alrededor del eje vertical, por lo que la zona es dos veces el área del lado positivo. Además, de la segunda ecuación, puedes ver que $-1\le x\le1$. Así, utilizando rectángulos verticales de espesor $dx$, escriba el área $$A=2\int_0^1(\sqrt{1-x^2}-\sqrt[3]{x}+\sqrt{1-x^2}+\sqrt[3]{x})dx=4\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx$ $ la última integral se puede computar usando %#% de sustitución de #%, que $z=\sin(x)$ $