Comparar el $(5/6)^4$ y $(35/36)^{24}$ sin cálculo

Question

¿Puede alguien proporcionar alguna sugerencia cómo comparar $(5/6)^4$ y $(35/36)^{24}$ sin el cálculo? ¡Gracias!

Después de alguna transformación esta pregunta equivale a comprobar si $(5/6)^{20}(7/6)^{24}$ es mayor que o menor que uno.

Answer 1

Usted esencialmente se pregunta si

$$\frac 56 \ \ \ \ \text{ or }\ \ \ \ \left(\frac{35}{36}\right)^6$$

son más grandes.

Ahora por la desigualdad de Bernoulli,

$$\left(\frac{35}{36}\right)^6 = \left(1- \frac{1}{36}\right)^6 > 1 - 6\frac{1}{36} = \frac 56. $$

Answer 2

Elevar a la potencia de $3\over2$. Entonces estamos comparando $\left(\frac{5}{6}\right)^6\;\text{ to }\;\left(\frac{35}{36}\right)^{36}$ y nosotros podríamos han escuchado una cosa o dos acerca de la secuencia $\left(\frac{n-1}{n}\right)^n$, que aumenta y converge a... bueno, eso no es realmente importante aquí, sólo tenga en cuenta que aumenta.

Answer 3

Creo que sería más fácil de encontrar que es más grande dividiendo el uno del otro. Deje que

\begin{align} E&=\left(\frac{5}{6}\right)^4 \Big/\:{\left(\frac{35}{36}\right)^{24}} \end {Alinee el}, que\begin{align} E&=\left(5^4!\cdot!6^{48}\right)\big/\left(5^{24}!\cdot!7^{24}!\cdot!6^{4}\right) =6^{44} \big/\left({7}^{24}!\cdot!{5}^{20}\right)

Desde $\,E

\begin{align} \left(\frac{5}{6}\right)^4 &\Big/{\left(\frac{35}{36}\right)^{24}}