Subespacio propio. ¿Qué es?

Question

¿Qué es un subespacio propio? No hay video, o cualquier cosa que realmente explica lo que es un subespacio propio es? Por lo que he entendido es sólo una dirección. Pero, ¿por qué lo necesitamos?.

Las siguientes preguntas han estado molestando por un tiempo, y no puedo encontrar un verdadero directa respuesta a ellos. Espero que alguno de ustedes me puede ayudar.

1. ¿Qué es un subespacio propio?
2. ¿Por qué los vectores propios se calcula con la diagonal?
3. ¿Cuál es el uso práctico del espacio propio? Como se hace o para qué se utiliza? Aparte de calcular la diagonal de una matriz.
4. ¿por qué es importante o calcular la diagonal de una matriz?

Quiero saberlo principalmente, porque acabo de pasar un curso de álgebra lineal y no tengo idea de lo que es un espacio propio. Lo que es vergonzoso para mí y para mi profesor porque él no explicó lo que eran, él simplemente dijo: "ésta es la forma de calcularlo y si quieres saber más, a continuación, leer sobre ella en el libro ".

Answer 1

1. El eigenespacio es el espacio generado por los vectores propios correspondientes al mismo valor propio, es decir, el espacio de todos los vectores que pueden escribirse como combinación lineal de esos vectores propios.

2. La forma diagonal hace que los valores propios sean fácilmente reconocibles: son los números de la diagonal. Y los vectores propios adoptan la cómoda forma de base, con una coordenada igual a uno y todas las demás nulas.

3. Toda la mecánica cuántica está llena de este lío. En concreto, las partículas pueden verse como vectores (las cosas son mucho más complicadas, pero esencialmente así es como funciona), y los vectores que pertenecen al mismo eigespacio tienen la misma energía - eigespacio de la "matriz de energía", hablando en términos generales. Es bastante aproximado, pero es una idea.

4. Porque, por ejemplo, resulta que puede ser de la materia calcular la exponencial de una matriz, y lo haces empleando su serie de potencias. Ahora bien, la potencia de una matriz diagonal se calcula trivialmente (sólo la potencia de los elementos diagonales), la potencia de una matriz no diagonal es un infierno, la verdad. Además, como he dicho antes, queda bien identificar los valores propios y su multiplicidad.

Answer 2

Condsider $\lambda$ para ser un valor propio de una transformación lineal $T$ entonces el eigespacio correspondiente a $\lambda$ es $E=\{x\in V |T(x)=\lambda x\}$ ...en primer lugar es un subespacio...en segundo lugar es un tipo especial de subespacio, por ejemplo el eigespacio consiste en todos aquellos vectores que se transforman como múltiplos escalares unos de otros

Los vectores propios se calculan en diagonal porque cuando tenemos una base propia para $V$ y representamos sus vectores como la combinación lineal de la base estándar, entonces la matriz de cambio de base consta de columnas que son vectores propios.

Suponga que tiene una matriz $A$ y hay que calcular $A^{k}$ No siempre es fácil hacerlo, pero supongamos que $A\sim D$ donde $D$ es una matriz diagonal, entonces $A=PDP^{-1}$ y luego $A^{k}=PD^{k}P^{-1}$ que es muy fácil de calcular.

Answer 3

Para resumir la historia: dado un mapa lineal $L:\>V\to V$ y cualquier número complejo $\lambda$ se considera el conjunto $E_\lambda\subset V$ de todos los vectores $x\in V$ que se acaban de estirar por el factor $\lambda$ en $L$ : $$E_\lambda:=\{x\in V\>|\> Lx=\lambda x\}\ .$$ Este conjunto es obviamente un subespacio, pero (en un entorno de dimensiones finitas) sólo para un puñado de $\lambda$ -valores es interesante, es decir: de dimensión positiva. Estos especiales $\lambda$ s se llaman valores propios de la $L$ y juntos forman el conjunto ${\rm spec} (L)\subset{\mathbb C}$ .

Resulta que (a) el no trivial $E_\lambda$ son muy importantes para la comprensión del mapa $L:\>V\to V$ y que (b) trabajar con vectores $e_\lambda\in E_\lambda$ , $\>\lambda\in{\rm spec} (L)$ como vectores base simplifica enormemente los cálculos que implican $L$ .

Un ejemplo: Cuando $L$ es el operador de diferenciación ${d\over dt}$ sobre las funciones $f:\>{\mathbb R}\to{\mathbb C}$ vale la pena utilizar las funciones $e_\lambda:\ t\mapsto e^{\lambda t}$ como "funciones base", porque ${d\over dt}e_\lambda =\lambda\>e_\lambda$ .

Answer 4

¿Por qué los espacios/vectores eigénicos?
No se trata sólo de la facilidad de los cálculos Si quieres las soluciones de un sistema (en física, por ejemplo), encontrar los espacios eigénicos no sólo te muestra el aspecto de cada solución, sino que también revela la naturaleza y la forma simple de lo que parece una "caja negra". Se gana en comprensión y, además, se calcula con facilidad.

Para hacer una historia corta, puedes considerar este clásico: http://www.math24.net/mass-spring-system.html

Answer 5

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial y que $L:V\to V$ sea un mapa lineal. Si $v\in V$ y $\lambda\in\mathbb{R}$ son tales que $L(v)=\lambda v$ entonces llamamos a $\lambda$ un valor propio de $L$ y $v$ y el vector propio de $L$ (correspondiente a $\lambda$ ).

Así que dejemos $\lambda$ sea un valor propio de $L$ . Obsérvese que en general hay muchos vectores propios correspondientes a $\lambda$ por ejemplo, si $v$ es un vector propio correspondiente a $\lambda$ entonces también lo es $\alpha v$ para cualquier $\alpha\in\mathbb{R}$ . Además, defina \begin {align*} L_ \lambda &=\{w \in V:\text { $w$ es un vector propio de $L$ correspondiente a $\lambda$ }\} \\ &=\{w \in V:L(w)= \lambda w\}. \end {align*} Es bastante sencillo comprobar a partir de las definiciones que $L_\lambda$ es un subespacio vectorial de $V$ . Lo llamamos el eigespacio de $\lambda$ .

Ahora dejemos que $n$ sea la dimensión de $V$ y que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ sea un producto interno sobre $V$ . Un teorema importante (llamado teorema espectral) afirma que si $L$ es un mapa simétrico con respecto a $\langle\cdot,\cdot\rangle$ entonces existe una base ortonormal $v_1,\ldots,v_n$ de $V$ con cada $v_1,\ldots,v_n$ un vector propio de $L$ . Ahora bien, si se escribe la matriz de $L$ en términos de esta base, el hecho de que todos sean vectores propios es exactamente la afirmación de que esta matriz es diagonal.