¿Es posible encontrar la parábola $x^2$ y la función a partir de 3 puntos dados?

Question

Estoy programando una pelota cayendo desde un acantilado y rebotando. La física se puede ignorar y quiero usar una parábola simple $y = ax^2$ para dibujar la pelota cayendo.

He dado dos puntos, el borde del acantilado en $C(-0.9; 0.8)$ y el punto donde la pelota golpea el fondo $B(0.1; -1.05)$. Debido a su simetría sabemos que hay otro punto en $A(-1.9; -1.05)$. Así que son 3 puntos con los que podría trabajar. $C$ es el vértice.

He intentado este enfoque pero mi parábola no es tan exacta como la necesito para estimar, por ejemplo, las intersecciones con el eje x o y.

Como las patas de la parábola están hacia abajo, lo único que puedo decir es que $a$ es negativo:

$$ y = ax^2 + bx +c; a < 0 $$

Intenté dibujarlo en Excel que permite agregar una línea de tendencia polinómica. Esta es la mejor aproximación que pude hacer hasta ahora (línea punteada).

Pero necesito la función. ¿Es de alguna manera posible calcular la ecuación de alguna manera?

Answer 1

La ecuación lineal es el camino a seguir. Si lo trabajas todo, obtendrás fórmulas para los coeficientes a continuación: $$ a = \frac{y_2(x_3 - x_1) - y_1(x_3 - x_2) - y_3(x_2 - x_1)}{x_1^2(x_2 - x_3)-x_3^2(x_2-x_1)-x_2^2(x_1-x_3)} $$ $$ b = \frac{y_2 - y_1 + a(x_1^2 - x_2^2)}{x_2 - x_1} $$ $$ c = -ax_1^2 - bx_1 + y_1 $$

Answer 2

Sí, podemos encontrar la ecuación de la parábola con la información dada.

En este problema hay tres incógnitas, los coeficientes $a, b$ y $c$, por lo que para encontrarlos necesitaremos tres datos. En este caso sabemos que la parábola debe pasar por los tres puntos dados.

Sustituye los puntos dados en la ecuación de la parábola. Luego:

$$ 0.8 = a(-0.9)^2 + b(-0.9) + c, $$ $$ -1.05 = a(0.1)^2 + b(0.1) + c, $$ $$ -1.05 = a(-1.9)^2 + b(-1.9) + c.$$

Este es un sistema de tres ecuaciones para tres incógnitas que podemos resolver de la siguiente manera.

A partir de la primera ecuación podemos escribir $c = 0.8 - a(-0.9)^2 - b(-0.9)$. Esta expresión para $c$ puede ser sustituida en las segundas y terceras ecuaciones. Luego:

$$ -1.85 = a\left[(0.1)^2 - (-0.9)^2\right] + b(-0.8), $$ $$ -1.85 = a\left[(-1.9)^2-(-0.9)^2\right] + b(-2.8) + 0.8.$$

A partir de la primera de estas expresiones $b = -\left[-1.85 - a\left[(0.1)^2 - (-0.9)^2\right]\right/0.8$

Sustituye esto en la expresión final y resuelve para $a$, luego $b$, luego $c$. En este caso:

$$a = -1.850,$$ $$b = -3.330,$$ $$c = -0.6985.$$

Answer 3

Resolver el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} ax_1^2 + bx_1 +c=y_1; \\ ax_2^2 + bx_2 +c=y_2; \\ ax_3^2 + bx_3 +c=y_3; \end{cases}$$ con respecto a las variables desconocidas $a,\ b,\ c.$