Una Intuición para la Inclusión: "la Unión de las Intersecciones" vs "Intersección de los Sindicatos"

Question

Deje $E = \{E_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ ser una secuencia infinita de conjuntos. A continuación, los siguientes criterios de inclusión se tiene:

$\bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} E_k \quad\subseteq\quad \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} E_k$

Sé que la parte izquierda (LHS) representa los elementos que pertenecen a todos, pero un número finito de conjuntos en la secuencia de $E$, y el lado derecho (RHS) representa los elementos que pertenecen a una infinidad de conjuntos en la secuencia de $E$. Esto concluye la prueba de que el lado izquierdo está contenida en el lado derecho. Sin embargo, no es intuitivo para mí, ya que la interpretación no es intuitivo per se.

Hay una intuitiva razón por la que por encima de su inclusión se mantiene? Es decir, (muy informal) ¿por qué la unión de las intersecciones está contenida en la intersección de los sindicatos?

Answer 1

Si $A$ $B$ son conjuntos, y $A\subseteq B_n$ todos los $n$,$A\subseteq\bigcap_n B_n$. Por el contrario, $A\subseteq\bigcap_n B_n$ significa que $A\subseteq B_n$ todos los $n$.

Esto nos dice que la inclusión usted está interesado en la reduce entonces a la comprobación de $(+)$: $$ \bigcup_n \bigcap_{k\ge n}E_k\subseteq \bigcup_{k\ge m}E_k $$ para todos los $m$.

(Este es el progreso. Es similar a un común de avanzar en el análisis: Para demostrar que $a\le b$, no es raro comprobar, en lugar de que $a\le c$ cualquier $c>b$. Pero estas desigualdades $a\le c$ tienden a ser más fácil de lo que usted realmente desea, $a\le b$.)

Ahora, la misma idea nos da que para probar la nueva inclusión $(+)$, es suficiente para probar $(++)$: $$\bigcap_{k\ge n}E_k \subseteq \bigcup_{k\ge m}E_k $$ para todos los $n,m$.

(El movimiento correspondiente en el análisis es que para probar $a\le b$, es suficiente para mostrar la $c\le b$ todos los $c\le a$. Los sindicatos corresponden a la suprema, intersecciones para infima en estas analogías.)

Ahora, $(++)$ es muy obvio: Si alguien está en el lado izquierdo, entonces es en todos lo suficientemente grande $E_k$, pero entonces es en el lado derecho.

El punto es: es útil para entrenar a sí mismo a "decodificar" ciertas expresiones de la forma en que lo hizo, centrándose en sus "atómica" o al menos "más básicos" de los componentes.

Answer 2

Como usted dijo que el lado izquierdo es la colección de elementos que aparecen en todos, pero un número finito de $E_k$, mientras que los elementos en el lado derecho son los que aparecen en infinidad de $E_k$.

Si usted aparece en todos excepto en un número finito, entonces aparecen en infinitamente muchos; de lo contrario no siempre es cierto, como puede aparecer en todas las incluso los índices, pero no una vez en la extraña índices.

El lado izquierdo es llamado a veces denotado por $\liminf E$, y el lado derecho es $\limsup E$.

Answer 3

Hay buenas explicaciones de liminf y limsup de conjuntos de aquí. Usted verá probablemente estas construcciones en teoría de la medida.

Answer 4

Así que en el lado izquierdo, un elemento debe pertenecer a todos los $E_k$ a partir de algunos $k$. En el lado derecho, un elemento sólo tiene que pertenecer a conjuntos que se arbitrariamente grande. Así que si pertenece a cada uno, o cada primer número uno, o algo así, va a ser incluidos en el lado derecho.