Valor esperado del precio de las acciones

Question

Alguien planea usar x dólares comprando alguna acción, el precio de la acción es $a$ dólares por acción ahora. Un año después, el precio de las acciones posiblemente aumentará a $ra$ o disminuir a $a/r$ (r>1) cuya probabilidad es $p$ o seguir con el precio actual cuya probabilidad es $1-2p$ . Si quiere tener más acciones, ¿debe comprar la acción o un año después?

Solución I:

El valor esperado del precio de la acción un año después es $a(rp+\frac{p}{r}+1-2p)$ .

Así que un año después puede comprar $\frac{x}{a(rp+\frac{p}{r}+1-2p)}<\frac{x}{a}$ .

Así que compre la acción ahora.

Solución II:

Un año después, si el precio es $ra$ puede comprar $\frac{x}{ra}$ acciones; si el precio es $\frac{a}{r}$ puede comprar $\frac{xr}{a}$ acciones.

Entonces el valor esperado de las acciones que puede comprar un año después es $$\frac{x}{ra}*p+\frac{xr}{a}*p+\frac{x}{a}*(1-2p)>\frac{x}{a}$$ .

Así que compra las acciones un año después.

Qué pasa con la Solución II.

Answer 1

La segunda solución es correcta. La primera solución no lo es.

Sea la variable aleatoria $W$ sea el número de acciones que tendremos si adoptamos una estrategia de espera. Queremos comparar $E(W)$ con $\frac{x}{a}$ . Por el cálculo correcto que hiciste, tenemos $$E(W)=\frac{x}{a}\left(1+ r+\frac{1}{r}-2\right).$$ Pero de varias maneras se puede ver que $r+\frac{1}{r}\ge 2$ con igualdad sólo si $r=1$ .

En cuanto a por qué la primera solución no es correcta, la respuesta simple es que la segunda solución se basa en un cálculo concreto de la expectativa de $W$ que es la variable aleatoria que nos interesa. Por tanto, la segunda solución es correcta. La primera solución da una respuesta diferente, por lo que no puede ser correcta.

El problema es que el primer cálculo no computa correctamente $E(W)$ .

Si $Z$ es una variable aleatoria, y $f$ es una función, entonces (normalmente) $E(f(Z))\ne f(E(Z))$ .

En la solución I, $Z$ es el precio, y $W=\frac{x}{Z}$ . La solución I asume implícitamente que $E(\frac{x}{Z})=\frac{x}{E(Z)}$ . No hay ninguna razón para suponer que esta ecuación se mantenga, y de hecho no lo hace.

Answer 2

Su segunda solución no tiene nada de malo. De hecho, creo que es mejor que la primera solución.

En el primer caso, calculas el precio esperado dentro de un año y dices que el número de acciones que puedes comprar está inversamente relacionado con esto. En el segundo caso, calculas directamente el número de acciones que puedes comprar dentro de un año.

Yo diría que la segunda solución es realmente mejor que la primera, ya que está más directamente relacionada con la cantidad que te interesa (el número de acciones que puedes comprar).

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Interludio matemático:

Te estás topando con La desigualdad de Jensen que dice que para una función convexa $f$ de una variable aleatoria $S$ , usted tiene

$$f(ES) \leq Ef(S)$$

donde $E$ es el operador de expectativa. Como la función recíproca es convexa, se tiene

$$1/ES \leq E(1/S)$$

para cualquier variable aleatoria $S$ . Aquí el lado izquierdo es el inverso del precio esperado de las acciones, y el lado derecho es proporcional a la cantidad esperada de acciones que se pueden comprar.