Mi planteamiento para determinar si la siguiente serie es convergente

Question

Acabo de empezar un curso de análisis real y no sé si lo estoy haciendo bien. Este es el ejercicio:

Determinar si la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+\sqrt{n^3+2}}{(n^2-3n+20)^2}$$ converge o diverge.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+\sqrt{n^3+2}}{(n^2-3n+20)^2}\\\Downarrow\\\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{3n+\sqrt{n^3+2}}{(n^2-3n+20)^2}\\\Downarrow\\\underbrace{\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{3n}{(n^2-3n+20)^2}}_{\large\text{Part 1}}+\underbrace{\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{\sqrt{n^3+2}}{(n^2-3n+20)^2}}_{\large\text{Part 2}} $$

Desde aquí:

Parte 1

Vamos a utilizar la prueba de comparación de límites. El término $\displaystyle\ a_n=\frac{3n}{(n^2-3n+20)^2}$ se comporta como $\displaystyle\ b_n=\frac{3n}{n^4}=\frac{3}{n^3}$ .

Sabemos (utilizando los resultados obtenidos en teoría) que $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^3}=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}<\infty $$ .

Además:

$$\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{\frac{3n}{(n^2-3n+20)^2}}{\frac{3n}{n^4}}=\lim_{n\to\infty}\displaystyle\frac{n^4}{(n^2-3n+20)^2}=1$$

Entonces, por la prueba de comparación de límites, la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n}{(n^2-3n+20)^2}$$

converge.

Parte 2

Nosotros hacemos lo mismo. Utilizando la prueba de comparación de límites, comparamos $\displaystyle\ a_n=\frac{\sqrt{n^3+2}}{(n^2-3n+20)^2}$ con $\displaystyle\ b_n=\frac{\sqrt{n^3}}{n^4}.$ Si procedemos como antes, encontraremos que $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1.$$

Así que la serie converge, y como ambas partes convergen, la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+\sqrt{n^3+2}}{(n^2-3n+20)^2}$$ converge.

¿Es correcto? ¿Estoy utilizando la comparación de límites de la forma correcta?

Gracias, señor.

Answer 1

Tenga en cuenta que ${3n+\sqrt{n^3+2} \over (n^2-3n+20)^2} = {n^{3 \over 2} \over n^4} { {3 \over \sqrt{n} }+ \sqrt{1+{2 \over n^3} } \over 1-{3 \over n} + {20 \over n^2} }$ .

Es fácil ver que ${3 \over \sqrt{n} }+ \sqrt{1+{2 \over n^3}} \le 5$ para todos $n$ y para $n \ge 9$ tenemos $1-{3 \over n} + {20 \over n^2} \ge {1 \over 3}$ Así que ${3n+\sqrt{n^3+2} \over (n^2-3n+20)^2} \le 15 { 1\over n^{5 \over 2}} $ .

Desde ${5 \over 2} > 1$ sabemos que la serie $\sum_n { 1\over n^{5 \over 2}} $ es convergente, y por tanto, por la prueba de comparación, también lo es la serie original.