¿Existen enteros $a,b,c$ tal que al menos uno de ellos sea distinto de cero y $ae+b\pi = c$ ?
Tenga en cuenta que, sólo estoy preguntando si e y $\pi$ puede satisfacer una ecuación diofantina no trivial $ax + by = c$ . No me interesa ninguna relación polinómica arbitraria entre ellos. Creo que esto es falso. ¡Cualquier ayuda es bienvenida!
Si no hay tales enteros $a, b, c$ existen, entonces en particular no hay $a, b, c \in \mathbb{Z}$ con $a = b$ tal que $a e + b \pi = c$ así que
$$e + \pi \not= \frac{c}{a}$$
para todos $a, c \in \mathbb{Z}$ . Así, $e + \pi$ es irracional. Según el número 22 de la lista de problemas abiertos relacionados con este respuesta No se sabe si $e + \pi$ es irracional, así que esto resolvería un problema abierto.
Por otro lado, si existe $a, b, c \in \mathbb{Z}$ (no todos cero) tal que $a e + b \pi = c$ Entonces, como $e$ y $\pi$ son irracionales, tanto $a, b \not= 0$ . Entonces
$$\frac{e}{\pi} = \frac{c}{a \pi} - \frac{b}{a}$$
Ya que el recíproco de un número trascendental es trascendental, $\frac{1}{\pi}$ es trascendental. Si $c \not= 0$ Esto implica que $\frac{e}{\pi}$ es trascendental. Si $c = 0$ entonces $\frac{e}{\pi}$ es racional y, por tanto, no es trascendental. Determinar si $\frac{e}{\pi}$ es trascendental un problema abierto (por la referencia anterior) que resolvemos en un sentido u otro dependiendo de si $c = 0$ .
También hay otro argumento lo que demuestra que si existe $a, b, c \in \mathbb{Z}$ (no todos cero) tal que $a e + b \pi = c$ entonces $e \pi$ es trascendental. Consideremos el polinomio cuadrático
$$(x-ae)(x-b\pi) = x^2 - (ae+b\pi)x + (ae)(b\pi)$$
Desde sus raíces $ae$ y $b\pi$ son trascendentales, los coeficientes $ae+b\pi$ y $(ae)(b\pi)$ no pueden ser ambas algebraicas. Por lo tanto, si $ae + b\pi$ es un número entero (y por tanto algebraico), entonces $e\pi$ es trascendental. Determinar si $e\pi$ es trascendental también está abierto, así que esto resuelve otro problema abierto.
Así, la existencia o no de la relación diofántica descrita resolvería un problema abierto.
Gracias a @hardmath por hacer comentarios y ediciones que mejoraron mucho esta respuesta.
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math.stackexchange.com/questions/456097/
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Posible duplicado de Son $\pi$ y $e$ ¿Independencia algebraica?
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Me pregunto si la expresión $e^{i(ae+b\pi})=e^{ic}$ añade algo positivo aquí (teóricamente $\pi$ desaparece porque $e^{\pi i} =-1$ ) pero probablemente el beneficio sea temporal..