¿Maneras de arreglar las letras ** contador ** si las vocales deben aparecer en orden alfabético?

Question

Pregunta

De cuántas maneras diferentes puedo ordenar las letras en el CONTADOR si vocales deben aparecer en orden alfabético?

De cuántas maneras diferentes puedo organizar las vocales? Que sería de 1 vía. No me pega el plazo $eeeoo$ juntos y tratarla como una carta de su propio. Que me dejarían con $6$ letras a la izquierda. Diferentes formas de organizar ellos? $${6! \over 2!}$$ since there are $2 \;k$. ¿Hice lo correcto? Gracias de antemano por tu tiempo.

Answer 1

Método 1: Hacemos uso de la simetría.

Por el momento, vamos a considerar el número de distinguir formas en que podemos permutar las diez cartas en el CONTADOR. Podemos colocar los tres E en tres de los diez lugares en $\binom{10}{3}$ maneras. Podemos colocar los dos O en dos de los siete restantes lugares en $\binom{7}{2}$ maneras. Podemos colocar los dos K en dos de los cinco restantes lugares en $\binom{5}{2}$ maneras. Hay, a continuación, $3!$ formas de organización de la B, P, y R en los tres lugares restantes. Por lo tanto, el número de distinguible de los arreglos de CONTADOR $$\binom{10}{3}\binom{7}{2}\binom{5}{2} \cdot 3! = \frac{10!}{7!3!} \cdot \frac{7!}{5!2!} \cdot \frac{5!}{3!2!} \cdot 3! = \frac{10!}{3!2!2!}$$

Ahora, vamos a restringir nuestra atención a los acuerdos de las cinco vocales en el CONTADOR. Puesto que hay tres E y dos O's, una permutación de EEEOO es determinada por en la que tres de los cinco puestos de la E son colocados. Hay $\binom{5}{3} = 10$ maneras de hacer esto, de los cuales sólo uno está en orden alfabético.

Por lo tanto, el número de permutaciones de las letras de tenedor de LIBROS en la que las vocales que aparecen en orden alfabético es $$\frac{1}{10} \cdot \frac{10!}{3!2!2!} = \frac{9!}{3!2!2!}$$

Método 2: ponemos las consonantes en primer lugar.

Hay $\binom{10}{2}$ formas de elección de las posiciones de los dos K, ocho maneras de colocar la B, siete maneras de lugar de la P, y seis maneras de colocar el R. una Vez que las consonantes se han colocado, no es la única manera de llenar los cinco restantes posiciones con las vocales en orden alfabético. Por lo tanto, el número de distinguible de los arreglos de las letras de tenedor de LIBROS en la que las vocales que aparecen en orden alfabético es $$\binom{10}{2} \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6$$

Método 3: colocamos las vocales primero.

Hay cinco vocales en tenedor de LIBROS, que tiene diez letras. Podemos seleccionar las posiciones para las cinco vocales en $\binom{10}{5}$ maneras. Sólo hay una manera de arreglar las vocales en esas posiciones en orden alfabético. Hay $\binom{5}{2}$ formas para realizar la K en dos de los cinco restantes posiciones. Hay $3!$ formas de organizar la B, P, R y en los tres restantes posiciones. Por lo tanto, el número de distinguible de los arreglos de tenedor de LIBROS en la que las vocales que aparecen en orden alfabético es $$\binom{10}{5}\binom{5}{2} \cdot 3!$$

Answer 2

Un Enfoque

Sin alfabético vocal restricción, hay $$ \frac{10!}{\underbrace{1!}_{\text{B}}\underbrace{2!}_{\text{O}}\underbrace{2!}_{\text{K}}\underbrace{3!}_{\text{E}}\underbrace{1!}_{\text{P}}\underbrace{1!}_{\text{R}}} $$ Los arreglos de las letras. Para cada acuerdo con las vocales en orden alfabético, hay $\binom{5}{2}$ sin restricciones de los arreglos de las vocales (solo en el conteo de los arreglos de "EEEOO", de la que sólo hay una que está en orden alfabético).

Por lo tanto, hay $$ \frac1{\binom{5}{2}}\frac{10!}{1!2!2!3!1!1!}=15120 $$ los arreglos de las letras donde las vocales son, en orden alfabético.

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Otro Enfoque

Considerar las vocales como una carta. Esto funciona ya que una vez que hemos seleccionado donde las vocales ir, sabemos que el orden de las vocales dentro del grupo de las vocales. Por lo tanto, hay $$ \frac{10!}{\underbrace{1!}_{\text{B}}\underbrace{5!}_{\begin{array}{c}\text{v}\\[-4pt]\text{o}\\[-4pt]\text{w}\\[-4pt]\text{e}\\[-2pt]\text{l}\\[-4pt]\text{s}\end{array}}\underbrace{2!}_{\text{K}}\underbrace{1!}_{\text{P}}\underbrace{1!}_{\text{R}}}=15120 $$ los arreglos de las letras donde las vocales son, en orden alfabético.

Answer 3

Imaginar las letras de Scrabble de azulejos. Sentar las baldosas EEEOO en el orden alfabético. Ahora tome la primera consonante y colocarlo en cualquiera de las $6$ posiciones antes, entre o después de lo que hay. A continuación, tome la primera a la K y el lugar en cualquiera de los ahora $7$ posiciones antes, entre o después de lo que está en la mesa. La repetición de este con el segundo K en ninguna de las $8$ posiciones posibles, la P de cualquiera de las $9$, y la R en cualquiera de las $10$ posiciones, vemos que no se $6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10$ formas de creación de los arreglos. Finalmente, dividiendo por $2$ (o $2!$, si te gusta) a cuenta de los dos K, tenemos la respuesta

$${6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10\over2}=15{,}120$$

Answer 4

Otro método es contar el número de maneras de reordenar lo símbolos $vvvvvccccc$ donde $v$ significa vocal y $c$ consonante. Es $10 \choose 5$. Entonces para cada tal acuerdo contar el número de maneras de reordenar las vocales. Es $1$. Luego contar el número de pesa para reorganizar las consonantes. Es $5! \over 1!2!1!1!$. Finalmente se multiplican: ${10 \choose 5} \times 1 \times {5! \over 1!2!1!1!} = 15120$