¿Cómo incrustar el toroide en la botella de Klein?

Question

¿Existe un mapa continuo del toro en la botella de Klein? ¿Se puede hacer de manera que sea localmente un homeomorfismo (o una incrustación completa)?

Mi idea es tomar la plaza $[-1,2] \times [-1,1]$ e identificar $(-1,y) \sim (1,y)$ y $(x,-1) \sim (x,1)$ para crear el toroide. Para crear la botella de Klein, tomo el cuadrado $[-1,1] \times [-1,1]$ e identificar $(-1,y) \sim (1,y)$ y $(x,-1) \sim (-x,1)$ .

Debido a la diferencia de identificación entre el toroide superior/inferior y el superior/inferior de los cuadrados de la botella de Klein, sé que debe haber un volteo involucrado. Mi idea es utilizar transformaciones lineales afines. He probado con varios puntos a lo largo de la línea inferior del cuadrado, pero todo lo que he probado rompe la continuidad del mapa o no cumple con la orientación de la botella de Klein. ¿Alguna idea sobre qué probar?

En cuanto a si hay una incrustación, no puede haber una incrustación completa ya que la botella de Klein no es orientable pero el toro no lo es. Sin embargo, creo que el toro puede ser mapeado en la botella de Klein para que sea un homeomorfismo local o al menos un homeomorfismo local "a trozos". Creo que esto se puede hacer como arriba usando transformaciones lineales afines.

Answer 1

Las respuestas anteriores dan una buena explicación de una doble cobertura del toro a la botella de Klein que responde a sus preguntas sobre la búsqueda de un mapa continuo que es un homeomorfismo local. Quería añadir que el toro no puede incrustado topológicamente en la botella de Klein $K$ que aborda el título.

En general, si $M$ y $N$ son ambas topológicas cerradas y conectadas $n$ -que no son homeomórficos, entonces $M$ no puede incrustarse en $N$ . De hecho, más precisamente, si $M$ es una topología cerrada $n$ -manifold y $N$ es un conjunto de $n$ -entonces cualquier incrustación $f:M\rightarrow N$ es un homeomorfismo

Esta es la idea de la prueba. Si $f:M\rightarrow N$ es una incrustación, entonces es, por definición, continua e inyectiva. Un mapa continuo inyectivo de un espacio compacto ( $M$ ) a un espacio de Hausdorff ( $N$ ) es un homeomorfismo sobre su imagen. Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar que la imagen es todo $N$ .

Bueno, $f$ es un mapa abierto que utiliza invarianza de dominio y también $f$ es un mapa cerrado ya que $M$ es compacto. Por lo tanto, $f(M)$ es un subconjunto cerrado de $N$ y por lo tanto, ya que $N$ está conectado, $f(M) = N$ .

Answer 2

Como han sugerido aes y janmarqz, el toroide cubre doblemente la botella de Klein. En cuanto al mapa, mira sus polígonos fundamentales. ¿Qué ocurre cuando empiezas a pegar botellas de Klein de lado a lado? No te quedes demasiado atrapado empezando con el mapa explícito. Más bien, empieza con la intuición geométrica, y luego, una vez que te hayas convencido de dónde viene este mapa, intenta hacer el mapa explícito.

Referencia: http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATch1.3rev.pdf

Edición: tal vez mirar esto podría ayudar con su pregunta: ¿Por qué este mapa es un mapa de cobertura?

Answer 3

Para hacerlo con transformaciones lineales, primero hay que tener en cuenta que el toroide es el cociente del plano por la acción de una red completa de traslaciones, por ejemplo la red estándar de vectores con coordenadas enteras. Así que su grupo fundamental es ZxZ.

Si el toro es una cubierta de dos pliegues de la botella de Klein, entonces el grupo fundamental de la botella de Klein debe contener la red más una transformación adicional del plano que tenga las siguientes propiedades

1) Su cuadrado está en el entramado

2) Su parte matricial tiene coeficientes enteros.

3) El grupo generado por la red y esta transformación afín adicional debe ser libre de torsión (ya que es un grupo de transformaciones de cobertura de la botella de Klein). En particular, la parte traslacional de la transformación afín adicional no puede ser cero.

Así que el grupo fundamental de la botella de Klein debe ser una extensión de grupo libre de torsión de Z2 por ZxZ.

0 -> ZxZ -> K -> Z2 ->0

en la que la acción de Z2 (por conjugación) sobre ZxZ tiene determinante -1 .

No es difícil encontrar una transformación afín que funcione. De hecho, puedes elegir que su parte traslacional sea la mitad de un punto de la red.