el conjunto de conjuntos contables de números reales

Question

Me gustaría pedir algunas pistas para demostrar que El conjunto de conjuntos contables en $\mathbb{R}$ es equinumérico al conjunto $\mathbb{R}$

Answer 1

Una pista: $\Bbb{R^N\sim(N^N)^N\sim N^{N\times N}\sim N^N}$ . Demuestre que existe una suryección desde ese conjunto al conjunto de subconjuntos contables y utilice el axioma de elección para concluir que existe una inyección en sentido inverso.

Obsérvese que hay que utilizar el axioma de elección, es coherente que el axioma de elección falle y no haya biyección entre los dos conjuntos (¡pero sigue habiendo una suryección como la de arriba!).