Deje $A$ ser un anillo conmutativo. Entonces tenemos local anillos de $A_p$ por localizar en cada uno de los prime ideal $p$. Por otra parte, tenemos $A_p \rightarrow A_q$ al $p$ contiene $q$. Así que tenemos un gran diagrama indexados por la inclusión poset de primer ideales. Cuando se $A$ el límite de este diagrama?
Al $A$ es un anillo local o un integrante de dominio es cierto. No veo ninguna razón por la que debería ser la verdadera arbitrarias de los anillos. ¿Qué está pasando aquí?
El mapa de la a a la inversa límite de todas sus localizaciones siempre es inyectiva. Esto se reduce al hecho de que la globalización de las secciones de la estructura de la gavilla O en la Especificación de Un son sólo A. El mapa de la a a la global secciones de O'sólo se necesita Una para la sección, que es la imagen de una en A_p en cada tallo. Así es el mapa de Una para el producto de todas sus localizaciones, y por tanto, esta es inyectiva, por lo que el mapa a la inversa límite también será.
Pero no siempre tiene que ser surjective. De hecho, se puede tomar un conmutativa von Neumann regular anillo que no es un producto de los campos. La razón por la que esto funciona es que cada primer ideal en una conmutativa VNR anillo es máxima, y cada localización es un campo. Así que el límite inversa de las localizaciones será el producto de los campos.
Aquí está una conmutativa VNR que no es un producto de los campos; tomar la sub-anillo de un countably infinito producto de copias de un campo fijo k consta de secuencias que son finalmente constante. Tengo este de Lam, Conferencias sobre los Módulos y Anillos, Ejemplo 7.54 p. 263. Es fácil ver que este es el VNR, y seguramente no es un producto de los campos.
Esta es una variación menor de MH respuesta:
Un anillo R es Booleano si x^2 = x para todo x en R. (Esto implica que R es conmutativo.)
En un Booleano anillo R, cada primer ideal es máxima, por otra parte, el único local Booleana anillo Z/2Z. Por lo tanto, R' := inverse limit_{p \en Spec R} R_p = (Z/2Z)^{# Spec R}. En particular, R' es finito o uncountably infinito.
Pero sin duda hay countably infinito Booleano anillos (una fantasía para justificar esta es la Lowenheim-Skolem teorema en el modelo de la teoría de la): tomar un incontable Booleano anillo, y considerar la sub-anillo generado por un countably conjunto infinito de los generadores.
Para más detalles sobre Booleano anillos, véase, por ejemplo, la Sección 4.5 de
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