Límite de la secuencia: $\sin(n^3)$

Question

¿Cómo puedo demostrar que esta secuencia no converge, utilizando la definición?

$$W_n = \sin(n^3)$$

$n \in \mathbb{N}$. Intenté hacer una prueba por reducción al absurdo, pero sin resultado.

Answer 1

Referencia: https://terrytao.wordpress.com/2010/03/28/254b-notes-1-equidistribution-of-polynomial-sequences-in-torii/

Como un caso especial de Corolario 6, tenemos

Deje $P(n)=a_s n^s + \cdots + a_0$ ser un polinomio con coeficientes reales. Si $a_s$ es irracional, entonces $P(n)$ mod $1$ es equidistributed.

Con $P(n)=\frac1{2\pi} n^3$, $P(n)$ mod $1$ es equidistributed. Por lo tanto, $n^3$ mod $2\pi$ es equidistributed. Luego de ello se sigue que $\sin n^3$ es denso en $[-1,1]$.