Demostrar que es imposible tener enteros $b=5a$ debajo de un dígito nuevo pedido

Question

Que $a$ sea un positivo entero y dejar $b$ obtenerse de un moviendo el dígito inicial de $a$ hasta el final.

Demostrar que es imposible tener $b=5a$.

Answer 1

Supongamos que existe naturals $a,b$ que $b=5a$. Tenga en cuenta que $b$ no puede tener más dígitos de $a$ a partir de la definición de las $b$.

Hemos de ese $b=5a$ que $b\equiv 0 \pmod {5}$, o el último dígito de la $b$ debe $5$ o $0$. Sin embargo, el primer dígito de $a$, que es el último dígito de la $b$ es distinto de cero. Así, el último dígito de la $b$ debe $5$.

Así,el primer dígito de $a$$5$. Sin embargo, debido a la realización, esto implica que $b=5a$ debe tener más dígitos de $a$. Hemos terminado.

Answer 2

Si $a$ tiene $n$ dígitos, el primero de ellos es $d$, entonces el $b=10(a-10^{n-1}d)+d=10a-(10^n-1)d$. Si $b=5a$, entonces

$$5a=(10^n-1)d$$

Claramente $5\not\mid(10^n-1)$, por lo que debemos tener $5\mid d$, lo que implica $d=5$ o $d=0$. Pero la cifra de plomo de un número entero positivo no puede ser $0$, que $d=5$, en cual caso $a=10^n-1$, todos de cuyos dígitos son $9$'s. Concluimos que el $b=5a$ es imposible.