Inversa de una matriz

Question

Estoy buscando una manera de derivar que la inversa de una matriz utilizando Levi-Civita. Sé que el resultado final se ve así para un $3 \times 3$ matriz:
$$(A^{-1})_{ij} = \frac{1}{2!}\frac{1}{\det A} \varepsilon_{imn} \varepsilon_{jpq} a_{pm} a_{qn}$$ Además, si sé que existe una matriz de esta forma, ¿cómo demuestro que efectivamente es la inversa? He intentado demostrar que $AA^{-1}=I=A^{-1}A$ pero me quedé atascado en el proceso.

Answer 1

Pistas:

1. Demostrar que un cofactor $C_{k}{}^{\ell}$ de un $n\times n$ matriz $A=(a^i{}_j)_{1\leq i,j\leq n}$ viene dada por la fórmula $$C_{k}{}^{\ell}~=~ \frac{1}{(n-1)!}\sum_{1\leq i_2,\ldots, i_n,j_2,\ldots, j_n\leq n}\varepsilon_{ki_2\ldots i_n}~\varepsilon^{\ell j_2\ldots j_n}\prod_{r=2}^n a^{i_r}{}_{j_r}, $$ donde $\varepsilon_{i_1\ldots i_n}$ denota el Símbolo de Levi-Civita .

2. A continuación, supongamos que la matriz $A$ es invertible.

3. Finalmente aplique La regla de Cramer $$(A^{-1})^{\ell}{}_{k}=\frac{C_{k}{}^{\ell}}{\det(A)}.$$