¿Una operación de fila elemental puede cambiar el tamaño de una matriz?

Question

Mi pregunta es muy simple: ¿Puede una operación de fila elemental cambiar el tamaño (por ejemplo, $2\times2$ o $3\times 2$) de una matriz?

Creo que la respuesta debería ser no, pero mientras leía Álgebra Lineal de Hoffman Kunze me encontré con esto:

Definición. Una matriz $m\times n$ se dice que es una matriz elemental si se puede obtener a partir de la matriz identidad $m\times m$ mediante una única operación de fila elemental.

Ahora, conozco 3 operaciones de fila elementales (sumar un múltiplo de una fila a otra, multiplicar toda una fila por una constante no nula e intercambiar dos filas), pero ninguna de ellas puede cambiar el tamaño de una matriz.

Pero como este es un libro muy elogiado, no puedo confiar en mí mismo tanto como me gustaría.

Answer 1

Respuesta Original:

Debe ser un error tipográfico. Para obtener otra referencia, si revisa el libro de Horn & Johnson aquí (capítulo 0, sección 0.3.3 en la primera edición) los autores discuten cómo se pueden lograr las operaciones elementales de fila mediante multiplicación por la izquierda de matrices cuadradas.

Nota al margen: Si usamos el hecho de que las operaciones elementales de fila en una matriz $\boldsymbol{M}$ son equivalentes a multiplicar $\boldsymbol{M}$ por la izquierda por ciertas matrices cuadradas, es fácil determinar el efecto de las operaciones elementales de fila en el determinante (recordemos que, para matrices cuadradas, $det(\boldsymbol{UM})=det(\boldsymbol{U})det(\boldsymbol{M})$).

Actualización:

Puedo ver que no es un error tipográfico si lo que los autores quieren decir es esto:

Las operaciones elementales de fila se pueden representar usando multiplicación de matrices. ¿Cómo? Supongamos que tengo una matriz $\boldsymbol{A}\in M_{m\times n}$ y quiero aplicar cualquiera de las tres operaciones. Todo lo que tengo que hacer es:

• Comenzar con la matriz identidad de tamaño $\boldsymbol{m}$, llámela $\boldsymbol{I}_m$.
• Aplicar cualquiera de las tres operaciones elementales de fila que desee a $\boldsymbol{I}_m$, llamemos a esta nueva matriz $\boldsymbol{I}_{nueva}$. En otras palabras, si desea aplicar una operación elemental de fila a $\boldsymbol{A}$ usted primero la aplica a $\boldsymbol{I}_m$.
• Multiplicar $\boldsymbol{A}$ por la izquierda por $\boldsymbol{I}_{nueva}$.

Observe que este método para realizar operaciones elementales de fila comienza esencialmente con la matriz identidad $\boldsymbol{I}_m$ y luego realiza la operación elemental en $\boldsymbol{I}_m$. Esto podría estar en línea con lo que los autores quisieron decir. Por supuesto, luego necesita multiplicar $\boldsymbol{A}$ por esta matriz identidad modificada que no cambiará la dimensión de $\boldsymbol{A}$.

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Ejemplo (intercambiar filas): Quiero cambiar la primera y tercera fila de $\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}_{3\times5}$.

Solución: Multiplicamos: \begin{align*} {\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{array}\right]}_{\boldsymbol{I}_{nueva}}}\boldsymbol{A}, \end{align*> esto cambiará la primera y tercera fila de $\boldsymbol{A}$.

Nota: el determinante de $\boldsymbol{I}_{nueva}$ aquí es -1. (Esto se puede mostrar usando la formulación de sumas alternantes del determinante).

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Ejemplo (multiplicar una fila por un escalar no nulo): Quiero multiplicar la segunda fila de $\boldsymbol{A}\in \mathbb{C}_{3\times 5}$ por 7/3.

Solución: Multiplicamos: \begin{align*} {\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & 7/3 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right]}_{\boldsymbol{I}_{nueva}}}\boldsymbol{A}, esto multiplicará la segunda fila de $\boldsymbol{A}$ por $7/3$.

Nota: El determinante de $\boldsymbol{I}_{nueva}$ aquí es 7/3. (El determinante de una matriz diagonal es el producto de las entradas diagonales.)

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Ejemplo (sumar un múltiplo de una fila a otra): Quiero sumar 5 veces la fila 1 a la fila 2 de $\boldsymbol{A}\in \mathbb{C}_{3\times 5}$.

Solución: Multiplicamos: \begin{align*} {\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\5 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right]}_{\boldsymbol{I}_{nueva}}}\boldsymbol{A}, \end{align*> esto multiplicará la primera fila de $\boldsymbol{A}$ por $5$ y la sumará a la segunda fila de $\boldsymbol{A}$ dejando la primera fila sin cambios.

Nota: El determinante de $\boldsymbol{I}_{nueva}$ aquí es 1. (El determinante de una matriz triangular es el producto de las entradas diagonales.)

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Observe que, en cada uno de estos casos, todo lo que era necesario era elegir la matriz identidad de la dimensión correcta (en nuestro caso, $3\times3$) y aplicar la operación elemental de fila a esta matriz identidad. Luego, multiplicamos $\boldsymbol{A}$ por la izquierda por esta matriz nueva.

• Si deseamos aplicar múltiples operaciones elementales de fila entonces simplemente repetimos este proceso secuencialmente para cada operación que apliquemos.

• Ahora es fácil ver cómo las operaciones elementales de fila cambian el determinante de una matriz cuadrada $\boldsymbol{A}$ ya que el determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes. Además, los determinantes de las matrices "$\boldsymbol{I}_{nueva}$" son fáciles de calcular.

• Todas estas matrices "$\boldsymbol{I}_{nueva}$" son noinvertibles (es fácil ver que su determinante es distinto de cero).