¿Cómo debo mentalmente lidiar con Borel de la paradoja?

Question

Me siento un poco incómoda con lo que he hecho mentalmente tratados con Borel de la paradoja y otros asociados "paradojas" tratar con la probabilidad condicional. Para aquellos que están leyendo esto que no están familiarizados con él, ver este enlace. Mi respuesta mental hasta este punto ha sido en su mayoría a ignorar porque nadie parece hablar de ella, pero siento que debo rectificar esto.

Sabemos que esta paradoja existe, y sin embargo parece que en la práctica (como un ejemplo extremo, el análisis Bayesiano) estamos perfectamente bien con el condicionamiento en los eventos de medida $0$; si $X$ mis datos, estamos en la condición de $X = x$ todo el tiempo, incluso a pesar de que este es un evento de medida $0$ al $X$ es continua. Y, ciertamente, no hacer ningún esfuerzo para construir una secuencia de eventos que convergen para el caso de que la observada para resolver la paradoja, al menos no explícitamente.

Yo creo que esto está bien porque tenemos esencialmente fija la variable aleatoria $X$ (en principio) antes del experimento, y por lo que estamos acondicionado en $\sigma(X)$. Es decir, $\sigma(X)$ es el $\sigma$-álgebra a condición, porque la información $X = x$ está llegando a utilizar a través de $X$ - si es que había llegado a nosotros de otra manera, nos gustaría condición en otro $\sigma$-álgebra. Borel de la paradoja surge porque (supongo) no está claro por qué el adecuado $\sigma$-álgebra a la condición, pero el Bayesiano ha especificado $\sigma(X)$. Porque somos la especificación a priori de que la información $X = x$ llegó a nosotros por medio de la medición de $X$ estamos en el claro. Una vez que hemos especificado el $\sigma$-álgebra, todo está bien; construimos nuestra esperanza condicional uso de Radon-Nikodym y todo lo que es único al nulo conjuntos.

Es esto, en esencia, a la derecha, o estoy fuera? Si yo estoy fuera, ¿cuál es la justificación para comportarse como lo hacemos? [Dado el Q&A de la naturaleza de este sitio, como a mi pregunta.] Cuando me tomó de la medida de la teoría de la probabilidad de que, por alguna razón que no entiendo, nunca tocó esperanza condicional. Como resultado de ello, me preocupa que mis ideas están muy confundidos.

Answer 1

Como Bayesiano, yo diría Borel de la paradoja no tiene nada (o muy poco) que ver con la estadística Bayesiana. Salvo que la estadística Bayesiana utiliza distribuciones condicionales, por supuesto. El hecho de que no hay ninguna paradoja en la definición de una distribución posterior como condicional en un conjunto de medida cero $\{X=x\}$ es que el $x$ no es elegido de antemano, sino como el resultado de la observación. Por lo tanto, si queremos utilizar exóticas definiciones de las distribuciones condicionales en conjuntos de medida cero, no existe la posibilidad de que los conjuntos contendrá la $x$ que vamos a observar en la final. La distribución condicional se define únicamente en casi todas partes y, por tanto, casi seguramente wrt nuestra observación. Este es también el sentido de la (gran) cita de A. Kolmogorov en la entrada de la wikipedia.

Un spot en el análisis Bayesiano donde la medida de la teoría de sutilezas puede convertirse en una paradoja es el Salvaje-Dickey representación del factor de Bayes, ya que depende de una versión específica de la previa de la densidad (como comentamos en nuestro artículo sobre el tema...)