Explicación visual de $\pi$ definición de la serie

Question

¿Puede explicar visualmente por qué es cierto lo siguiente?

$$ \frac{\pi}{4} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k + 1} = \frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\ldots\approx 78.5\% $$

Por visualmente me refiero a usar un círculo y un cuadrado para ayudarme a entender en lugar de algún cálculo que no voy a entender.

Recientemente he estado muy intrigado por $\pi /4$ ya que parece que la geometría es más sencilla. Por ejemplo, el área de un círculo es $\pi /4$ veces el área de su cuadrado circunscrito, y el perímetro del círculo es $\pi /4$ veces el perímetro de su cuadrado circunscrito. Vea más aquí: Geometría con $\pi /4$

Answer 1

Históricamente, hay tres grandes (re)descubrimientos independientes de esta fórmula en serie para $\pi/4$ :

• por el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716),
• por el matemático escocés James Gregory (1638-1675), y
• de los matemáticos indios, atribuido a Madhava de Sangamagrama (aproximadamente 1340-1425), pero disponible sólo a través de citas de sucesores como Nilakantha Somayaji (1444-1544).

Los tres se analizan en el artículo El descubrimiento de la fórmula de la serie para por Ranjan Roy publicado en Mathematics Magazine, Vol. 63 (1990), pp. 291-306, que ganó el Premio Carl B. Allendoerfer en 1991.

De los tres, permítanme tomar el de Mdhava, porque al ser el más antiguo, es ciertamente anterior a (lo que se considera) el desarrollo del cálculo, y porque me parece el más simple geométricamente.

Este y otros resultados tempranos que conducen a algunos aspectos del cálculo también se discuten en K. Ramasubramanian y M. D. Srinivas (2010), Desarrollo del cálculo en la India, Estudios de historia de las matemáticas indias, 201-286.

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Consideremos un círculo unitario, y en particular un cuarto de círculo particular del mismo, delimitado por un cuadrado unitario.

Queremos encontrar la longitud de la mitad del arco $AC$ que sabemos que es $\pi/4$ .

Dividimos el lado $AB$ en $n$ partes iguales de longitud $\frac1n$ cada uno. Considere la $r$ a dicha parte, $P_{r-1} P_r$ . Perpendiculares de caída $P_{r-1}D$ y $EF$ en $OP_r$ . Tenemos de la similitud de los triángulos,

• $\displaystyle \frac{EF}{OE} = \frac{P_{r-1}D}{OP_{r-1}}$ (seno del ángulo pequeño en $O$ ) y
• $\displaystyle \frac{P_{r-1}D}{P_{r-1}P_r} = \frac{OA}{OP_r}$ (seno del ángulo $DP_rP_{r-1}$ )

por lo que obtenemos

$$EF = OE\frac{P_{r-1}D}{OP_{r-1}} = OE\frac{P_{r-1}P_r\frac{OA}{OP_r}}{OP_{r-1}} = \frac{P_{r-1}P_r}{OP_r \times OP_{r-1}}$$ donde dejé caer $OE$ y $OA$ porque son longitudes unitarias.

Ahora, para los grandes $n$ (como $n \to \infty$ ), el segmento de arco $EG \approx EF$ y la longitud de arco total (de la mitad del cuarto de círculo) es la suma de estas longitudes de arco correspondientes $EG$ Por lo tanto, argumentaron que (en notación moderna)

$$\frac{\pi}{4} = \lim_{n\to\infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{P_{r-1}P_r}{OP_r \times OP_{r-1}}.$$

Además, el numerador $P_{r-1}P_r = 1/n$ por definición, y para los grandes $n$ el denominador $OP_r OP_{r-1}$ puede aproximarse mediante $OP_r^2 = 1 + AP_r^2 = 1 + (r/n)^2$ (en realidad fueron más sofisticados y utilizaron el hecho de que está limitado por $OP_{r-1}^2$ y $OP_r^2$ etc.), por lo que tenemos

$$\frac{\pi}{4} = \lim_{n\to\infty} \sum_{r=1}^n \frac{1/n}{1 + (r/n)^2}$$

El resto es fácil: utilizar el hecho de que $$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots$$ con $x = (r/n)^2$ para que nuestra suma sea $$\frac1n \sum_{r=1}^n (1 - (r/n)^2 + (r/n)^4 - (r/n)^6 + \dots)$$

Además, han demostrado que en general $$\sum_{r=1}^n r^k \approx \frac{n^{k+1}}{k+1},$$ así que $$\frac1n \sum_{r=1}^n (r/n)^k \approx \frac1{k+1}$$ (siendo iguales en el límite), por lo que en el límite nuestra suma se convierte en $$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \dots.$$

Yo he sido un poco más informal en el argumento anterior (con sumas intercambiadas, tomando límites, etc.) que ellos, pero esta es la idea general.

Answer 2

Deberías saberlo: $$\dfrac{\pi}{4}=\tan^{-1}(1)$$ Esto significa que: $$\dfrac{\pi}{4}=\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2} \ dx$$ Utilizaremos la regla de que $\dfrac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8\dots \ (-1\le x \le 1)$ . $$\dfrac{\pi}{4}=\int_0^1 1 -x^2+x^4-x^6+x^8\dots \ dx$$ Resolveremos la integral indefinida $\int 1 -x^2+x^4-x^6+x^8\dots \ dx$ primero. Esto es básicamente la regla de la potencia repetida un número infinito de veces. $$\int 1 -x^2+x^4-x^6+x^8\dots \ dx$$ $$= x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \dfrac{x^7}{7} + \dfrac{x^9}{9} \dots + C$$ Ahora evaluaremos la integral definida. Sólo tenemos que utilizar la Teorema fundamental del cálculo para hacer esto. El Teorema Fundamental del Cálculo es este:

Supongamos que $G$ es una antiderivada de $f$ . Entonces: $$\int_a^b f(x) \ dx = G(b) - G(a)$$ Para encontrar la integral definida, sólo tenemos que introducir el valor de $b$ (que es $1$ ) en la antiderivada (que es básicamente la respuesta a la integral) y evaluarla. A continuación, introducimos $a$ a la antideravitave y evaluarla. Por último, restamos el segundo valor ( $G(a)$ ) a partir del primer valor ( $G(b)$ ). $$\dfrac{\pi}{4}= \left(1 - \dfrac{1^3}{3}+\dfrac{1^5}{5}-\dfrac{1^7}{7}+\dfrac{1^9}{9}\dots + C \right) - \left(0 - \dfrac{0^3}{3}+\dfrac{0^5}{5}-\dfrac{0^7}{7}+\dfrac{0^9}{9}\dots + C \right)$$ $$\dfrac{\pi}{4}= 1 - \dfrac{1^3}{3}+\dfrac{1^5}{5}-\dfrac{1^7}{7}+\dfrac{1^9}{9}\dots + C - C$$ $$\displaystyle \boxed{\dfrac{\pi}{4}= 1 - \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}\dots}$$

Answer 3

Es la integral $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx$ .