Supongamos que $X_1,\cdots,X_n$ son gaussianas estándar iid. $X_{(n)}$ es el máximo de $(X_1,\cdots,X_n)$ ¿cómo puedo encontrar el orden asintótico de $VAR[X_{(n)}]$ ?
La función de densidad de $X_{(n)}$ se puede obtener de la siguiente manera: $ P(X_{(n)}<t)=\prod P(X_i< t)=[\Phi(t)]^n, $ Así que la densidad es $f(t)=n\phi(t)[\Phi(t)]^{n-1}$ .
Pero no me queda claro lo de la aproximación de la integral:
$\int_{-\infty}^\infty t^2n\phi(t)[\Phi(t)]^{n-1} dt$ que es el segundo momento.
Sé que el primer momento puede ser acotado por $$ E(X_{(n)})\le \sqrt{2\log n}-\frac{\log\log n+\log 4\pi - 2\gamma}{2\sqrt{2\log n}}. $$
