Demostrar que esta secuencia no converge pointwise casi por todas partes.

Question

Supongamos que $f_n$ es una secuencia de funciones reales medibles en un conjunto de $X$ de medida finita y suponer que existe un $\epsilon$ tales que para todos los $n\geq1$:

$$m({x:|f_n(x)-f(x)|}\geq\epsilon)\geq\epsilon$$

Quiero mostrar que esto es falso: a.e. de $f_n(x)\rightarrow f(x)$ $X$.

He intentado probar la existencia de un conjunto de $Y\subseteq X$ de medida positiva dista mucho que $f_n(x)$ $f(x)$ % todos $x\in Y$. Sin embargo, sólo obtener juegos $Y_n$ que dependen de $n$ así que supongo que necesito algún argumento más sólido. ¡Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Podemos definir la convergencia en medida de frente:

Una secuencia $\{f_n\}$ converge en la medida de a $f$ si para todas las $\delta>0$ tenemos $$\lim_{n\to\infty}m(\{|f_n(x)-f(x)|\geq\delta\})=0.$$

Tenemos el siguiente resultado:

Deje $(X,\mathcal B,\mu)$ finito, mide el espacio. Si la secuencia de $\{f_n\}$ medibles de funciones converge en casi todas partes a $f$, entonces converge en la medida de a $f$.

Para ver esto,fix $\delta>0$ y tenga en cuenta que $m\left(\bigcap_k\bigcup_{n\geq k}\{x:|f_n(x)-f(x)|\}\right)=0$. Desde la secuencia de $\left\{\bigcup_{n\geq k}\{x:|f_n(x)-f(x)|\}\right\}_k$ es decreciente y estamos en un finito medido espacio del que disponemos $m\left(\bigcup_{n\geq k}\{x:|f_n(x)-f(x)|\}\right)$ converge a $0$ y obtenemos el resultado.

Tenga en cuenta que el hecho de que el espacio es finito es primordial, ya que obtener un contra-ejemplo tomar la línea real, con el Borel $\sigma$-álgebra y la medida de Lebesgue, teniendo en $f_n$ igual a la función característica de a $(n,n+1)$.

Ahora, para resolver el problema tenga en cuenta que la secuencia de $\{f_n\}$ no convergen en la medida.