Partícula que se mueve a velocidad constante con retrocesos de Poisson

Question

Consideremos una partícula que parte del origen y se mueve a lo largo de la recta real positiva con una velocidad constante de 1. Supongamos que hay un contador que hace clic en intervalos de tiempo aleatorios siguiendo la distribución exponencial con el parámetro $\lambda$ y siempre que el contador haga clic, la posición $x > 0$ de la partícula en ese momento cambia instantáneamente a la posición $x/2$ . Queremos calcular la velocidad media esperada de la partícula.

La verdad es que no tengo ni idea de cómo solucionar esto. Aquí hay un par de problemas relacionados que me parecen aún más difíciles:

1. Modifica el puzzle para que cuando el contador haga clic, la partícula se mueva de $x$ a un punto elegido uniformemente al azar de $[0,x]$ .
2. La partícula comienza a moverse como en el caso anterior, pero cada vez que el contador hace clic, su velocidad aumenta en 1 (la velocidad inicial era 1). ¿Cuál es el tiempo esperado cuando la partícula llega a la posición 1? ¿Cuál es la velocidad esperada cuando la partícula llega a la posición 1?

No se trata de un problema de deberes. Cualquier solución, pista o idea será apreciada.

Gracias,

Answer 1

Sólo para que conste, me gusta más la respuesta de Shai Covo. Pero el OP me pidió que publicara mi solución también, así que aquí está.

Dejemos que $X_t$ sea la posición del objeto en el momento $t$ . Dado $N$ clics en $[0,t]$ , dejemos que $\tau_1, \tau_2, \ldots \tau_N$ ser los tiempos de esos clics. Dejemos que $T_i$ sea el $i$ el tiempo de llegada, de modo que $T_1 = \tau_1$ , $T_{N+1} = t - \tau_N$ y $T_i = \tau_i - \tau_{i-1}$ de lo contrario. Así, $t = \sum_{i=1}^{N+1} T_i$ .

Por propiedades de la distribución exponencial, $E[T_i|N] = E[T_j|N]$ para todos $i, j$ . Así, $$t = \sum_{i=1}^{N+1} E[T_i|N] = E[T_i|N] (N+1) \Rightarrow E[T_i|N] = \frac{t}{N+1}.$$

Si $N=0$ entonces $X_t = T_1$ . Si $N = 1$ , $X_t = \frac{1}{2}T_1 + T_2$ . Si $N = 2$ , $X_t = \frac{1}{4}T_1 + \frac{1}{2}T_2 + T_3$ y, en general, $X_t = \sum_{i=0}^N \frac{T_{N+1-i}}{2^i} $ . Así, $$E[X_t|N] = \sum_{i=0}^N \frac{E[T_{N+1-i}|N]}{2^i} = \frac{t}{N+1}\left(2 - \frac{1}{2^N}\right).$$

Desde $E[X_t] = E[E[X_t|N]]$ Sólo tenemos que calcular $E\left[\frac{1}{N+1}\right]$ y $E\left[\frac{1}{(N+1)2^N}\right]$ . Desde $N$ es Poisson $(\lambda t)$ tenemos $$E\left[\frac{1}{N+1}\right] = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{n} e^{-\lambda t}}{(n+1) n!} = e^{-\lambda t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{n} }{(n+1)!} = \frac{e^{-\lambda t}}{\lambda t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^{n+1} }{(n+1)!} $$ $$= \frac{e^{-\lambda t}}{\lambda t} \left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^n }{n!} - 1 \right) = \frac{e^{-\lambda t}}{\lambda t} \left(e^{\lambda t} - 1 \right) = \frac{1}{\lambda t} - \frac{e^{-\lambda t}}{\lambda t}.$$

De la misma manera, $$E\left[\frac{1}{(N+1)2^N}\right] = \frac{2e^{-\lambda t}}{\lambda t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\frac{\lambda t}{2})^{n+1} }{(n+1)!} = \frac{2e^{-\lambda t}}{\lambda t} \left(e^{\lambda t/2} - 1 \right) = \frac{2e^{-\lambda t/2}}{\lambda t} - \frac{2e^{-\lambda t}}{\lambda t}.$$

Por lo tanto,

$$E[X_t] = E\left[\frac{2t}{N+1}\right] - E\left[\frac{t}{(N+1)2^N}\right] = \frac{2}{\lambda}\left(1 - e^{-\lambda t/2}\right),$$ que es exactamente lo que se obtiene si se resuelve la ecuación diferencial en la respuesta de Shai Covo.

Así que la velocidad media esperada (velocidad, en realidad, ya que la velocidad media es técnicamente 1) es $$\frac{2}{\lambda t}\left(1 - e^{-\lambda t/2}\right).$$

Answer 2

Esquema de la solución: Sea $X_t$ denotan la ubicación de la partícula en el momento $t$ , y establecer $f(t) = {\rm E}(X_t)$ . Considere el tiempo $t + \Delta t$ , $\Delta t \approx 0+$ . Con una probabilidad de alrededor de $1 - \lambda \Delta t$ la partícula sigue posicionándose $X_t + \Delta t$ mientras que con una probabilidad de alrededor de $\lambda \Delta t$ se desplaza a la posición de $X_t/2$ . Esto conduce directamente a una ecuación diferencial elemental en términos de $f(t)$ de la que se obtiene $f(t)$ . La velocidad media esperada es entonces $f(t)/t$ .