Proyección repetida de puntos en líneas

Question

Considere la posibilidad de un punto de $P$ sobre el plano Euclidiano, y las líneas de $l_1,l_2,\ldots,l_n$. Proyecto $P$ a $l_1$. Proyectos, a continuación, el punto resultante en $l_2$. Proyectos, a continuación, el punto resultante en $l_3$, y así sucesivamente, hasta el $l_n$. Proyectos, a continuación, el punto resultante en $l_1$ nuevo, a continuación,$l_2$, ..., repitiendo el proceso.

Será el conjunto de las proyecciones de los puntos de siempre estar acotada? Es decir, ¿siempre existe $r$ (posiblemente dependiendo $P,l_1,\ldots,l_n$) de tal forma que los puntos resultantes permanecer siempre dentro del disco de radio $r$ centrada en $P$?

Answer 1

Utilizando afín a la geometría con coordenadas homogéneas donde un punto en $r\in\mathbb{R}^2$ es representado por un 3-vector $(r,1)$, la proyección en una línea de $\ell_i$ definido por un punto de $p_i$ y normal $\hat{n}_i$ es $$ \begin{bmatrix}r'\\ 1\end{bmatrix} = \operatorname{proj}_{\ell_i} r = \begin{bmatrix}I - \hat{n}_i\hat{n}_i^T & \hat{n}_i (\hat{n}_i\cdot p_i) \\ 0 &1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}r\\ 1\end{bmatrix}$$ Llame a la proyección de la matriz de $P_i$. Tenga en cuenta que los autovalores de a $P_i$ son menores o iguales a 1, ya que la parte inferior derecha del elemento es de 1 (un autovalor es siempre 1), y la parte superior del bloque de izquierda es la identidad de menos de una matriz ortogonal. Un producto de ese $P_i$ por lo tanto converge a una matriz de proyección con autovalores $1$ o $0$. El límite de vectores propios de tales valores propios (con el último componente de la escala a la unidad) dará el límite de puntos.

Lo anterior muestra que el proceso de iteración converge a un punto determinado, sino que punto podría ser el punto en el infinito $(\mathrm{anything},0)$. El acotamiento del límite de puntos depende de la magnitud relativa de los componentes del límite de vectores propios. Tenga en cuenta que un iterado producto de $P_\infty = \prod P_i$ preserva la estructura de bloque, por lo que tenemos $$ P_\infty = \begin{bmatrix} A &u\\0&1 \end{bmatrix} $$ La solución para el vector propio correspondiente a la unidad autovalor, $$ (P_\infty -I)\begin{bmatrix}v\\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A-I &u\\0&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v\\ 1\end{bmatrix}$$ Que los resultados en $v = (A-I)^{-1} u$. Necesitamos asegurarnos de que siempre hay un valor distinto de cero $v$ cualquier $A$$u$. Tenga en cuenta que el $A$ bloque está formado a partir de productos de reflectores $\prod I - \hat{n}_i\hat{n}_i^T $, así que a menos que todas las líneas son paralelas, los autovalores de a $A$ se apartó de 1. Así tenemos a nuestra prueba de que la iteración siempre converge a un punto en el infinito.

No podrían ser algunos de los agujeros en esta prueba. Y probablemente se puede extender a averiguar cómo determinar $r$ como una función de los parámetros de la línea.