¿Cuál es la máxima $n$ tal de que no existen funciones de $f_1, \dots, f_n:[0,1] \to \mathbb{R}$ que son todos delimitada, no decreciente, y mutuamente ortogonales en $L^2([0,1])$?
Respuestas
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La respuesta es DOS. (La prueba a continuación es sólo una fácil adaptación de las de los demás respuesta a una pregunta relacionada, aquí en MO).
Lema Deje $f^{\star}$ $g^{\star}$ dos a cero, no decreciente funciones en $L^1([0,1])$,$\int_{[0,1]}f^{\star}=\int_{[0,1]}g^{\star}=0$. A continuación,$\int_{[0,1]}f^{\star}g^{\star} \gt 0$.
La prueba del lema Hay un $a_1\in [0,1]$ tal que $f^{\star}(x)\leq 0$ al $x \lt a_1$ y $f^{\star}(x) \geq 0$ al $x\gt a_1$. Del mismo modo, hay un $a_2\in [0,1]$ tal que $g^{\star}(x)\leq 0$ al $x \lt a_2$ $g^{\star}(x) \geq 0$ al $x\gt a_2$. Por simetría, podemos suponer que $a_1 \leq a_2$.
A continuación,$0=\int_{0}^{a_2}f^{\star}(x)dx+\int_{a_2}^{1}f^{\star}(x)dx$, lo $\int_{0}^{a_2}f^{ \star}(x)dx \leq 0$. Podemos deducir
$$ \int_{0}^{a_1} |f^{\estrella}(x)|dx \geq \int_{a_1}^{a_2} |f^{\estrella}(x)|dx $$
y por lo tanto
$$ \int_{0}^{a_1} f^{\estrella}(x)g^{\estrella}(x)dx= \int_{0}^{a_1} |f^{\estrella}(x)||g^{\estrella}(x)|dx \geq \int_{0}^{a_1} |f^{\estrella}(x)||g^{\estrella}(a_1)|dx \geq \int_{a_1}^{a_2} |f^{\estrella}(x)||g^{\estrella}(a_1)|dx =\int_{a_1}^{a_2} |f^{\estrella}(x)||g^{\estrella}(x)|dx= -\int_{a_1}^{a_2} f^{\estrella}(x)g^{\estrella}(x) dx $$
De modo que la integral de la $\int_{0}^{a_2} f^{\star}(x)g^{\star}(x)dx$ es no negativa ; por otro lado, $f^{\star}g^{\star}$ es no negativa en $[a_2,1]$. Por lo $\int_{[0,1]}f^{\star}g^{\star} \geq 0$, y si esta desigualdad es en realidad una igualdad, a continuación, $|f^{\star}g^{\star}|$ debe ser cero.e. en $[0,1]$. En particular, hay una secuencia $(x_n)$ tendiendo a $1$ tal que $f^{\star}(x_n)g^{\star}(x_n)=0$ todos los $n$. Por el pigeon-hole principio, no debe ser infinitamente muchos $n$ tal que $u(x_n)=0$ donde $u$ es uno de $f^{\star}$ o $g^{\star}$. A continuación,$u \leq 0$, pero esto contradice el hecho de que $u$ es distinto de cero con la integral es cero. El lema queda demostrado.
Corolario : Vamos a $f$ $g$ dos ortogonal, distinto de cero, no decreciente funciones en $L^1([0,1])$. A continuación,$0 \gt \int_{[0,1]}f \int_{[0,1]}g$ : las integrales de $f$ $g$ debe tener signos diferentes.
Prueba de corolario : utilizar el lema con
$$ f^{\estrella}=f-\int_{[0,1]}f \ g^{\estrella}=g-\int_{[0,1]}g $$
adl
Puntos
7294
en estrictamente creciente caso, 2. Tome $f,g$ estrictamente creciente. Supongamos $\int f \ge 0, \int g \ge 0$ que se pueden arreglar. Supongamos $\int f = 0$, Vamos a $x_0$ ser tal que $f(x) \le 0, x < x_0, f(x) \ge 0, x > x_0$. Deje $c$ ser tal que $g-c \le 0, x < x_0, g-c \ge 0, x > x_0$. A continuación, $\int fg = \int f(g-c) > 0$ porque el integrando es. El mismo argumento muestra que el $\int fg > \int f\int g$ , con una correlación de la desigualdad, que se deshacen de la $\int h \ne 0$ de los casos. Creo que el no estrictamente creciente se puede hacer a lo largo de las mismas líneas, debe tener $f(g-c) = 0$, realmente limitar sus opciones.
