El estudio de la familia de curvas de $\beta(s,r) = \alpha(s) + r\,{\bf N}(s)$

Question

Estoy revisando algunas cosas en el plano de curvas, sólo porque, y me gustaría confirmar algunas cosas. Todo el ejercicio es:

Deje $\alpha(s) = (x(s),y(s))$ ser una unidad de velocidad parametrización de la curva, ${\bf N}(s)$ de su vector normal y $\kappa(s)$ su curvatura. Considerar a la familia de curvas $\beta(s,r) = \alpha(s) +r\,{\bf N}(s)$, $-\epsilon \leq r \leq \epsilon$. Compruebe que $\beta(s,r_0)$ $\beta(s_0, r)$ son regulares curvas de $\epsilon > 0$ lo suficientemente pequeño, comprobar que son ortogonales y que la curvatura $\overline{\kappa}$$\beta(s,r_0)$$\frac{\kappa}{1+r_0\kappa}$.

Un cálculo directo le da: $$\left\|\frac{\partial \beta}{\partial s}(s,r_0)\right\| = |1-r_0\kappa(s)|, \quad \left\|\frac{\partial \beta}{\partial r}(s_0, r)\right\| = 1,$$ so that $\beta(s_0, r)$ is always regular. My first problem is with the first curve. If $|\kappa(s)|$ attained a maximum, say, $|\kappa^\ast|$, then I can take $0 < \epsilon < 1/|\kappa^\ast|$ and from this $|1-r_0\kappa(s)| > 0$ for all $s$.

El ejercicio fue escrito de manera descuidada y debo asumir que $\alpha$ está definida en un intervalo cerrado, de manera que pueda obtener el máximo $|\kappa^\ast|$? O hay un truco a su alrededor?

La segunda parte es demasiado fácil, sin problemas.

Para la parte final, creo que la fórmula es incorrecta. Porque $$\frac{\partial \beta}{\partial s}(s,r_0) = (1-r_0\kappa(s))\,{\bf T}(s), \quad \frac{\partial^2\beta}{\partial s^2}(s,r_0)= -r_0\kappa'(s)\,{\bf T}(s) + (1-r_0\kappa(s))\kappa(s)\,{\bf N}(s)$$will give: $$\det\left(\frac{\partial \beta}{\partial s}(s,r_0),\frac{\partial^2\beta}{\partial s^2}(s,r_0)\right) = (1-r_0\kappa(s))^2\kappa(s)$$ and so: $$\overline{\kappa}(s) = \frac{\kappa(s)}{|1-r_0\kappa(s)|}.$$

¿Se me olvida algo? En esta pregunta, por ejemplo, que tome $\alpha (s)- r\,{\bf N}(s)$ en el comienzo, lo cual es coherente con mi trabajo anterior. Pero creo que tengo demasiados valores absolutos de allí, también. Es allí una manera de deshacerse de ellos?

Answer 1

Desde su curva parametrizada por longitud de arco de las siguientes relaciones: ${\bf N}'(s)= -k(s) {\bf T}(s)$$\alpha'(s)={\bf T}(s)$. De modo que por tu parte final de la relación $\frac{\partial \beta}{\partial s}(s,r_0) = (1-r_0\kappa(s))\,{\bf T}(s)$ es correcta así como la segunda derivada de $\beta$. Podemos entonces concluir que la curvatura de $\beta(s)$$\overline{\kappa}(s) = \frac{\kappa(s)}{1-r_0\kappa(s)}$. La curvatura puede ser calculado mediante el producto cruzado $\beta'(s) \times \beta''(s)$ y tomando el componente en el $z$ dirección. Desde ${\bf T}(s)$ es un vector unitario de su módulo es $1$. Al invertir el signo en su original de la curva, es decir, cuando se considera un paralelo de la curva a una distancia $r$$\beta(s)=\alpha (s)- r\,{\bf N}(s)$, la correspondiente geodésico de la curvatura puede ser obtenido a partir de la anterior mediante la sustitución de $r$$-r$. Sobre la regularidad de la condición de $\beta(s)$, esto es satisfecho si $\frac{1}{r}$ no es entre el extremal de los valores de la curvatura geodésica. Esto significa que si definimos $k_{min}=\min \{\overline {k(s)} \}$ $k_{max}=\max \{ \overline{k(s)} \}$ $\beta(s)$ es regular si y sólo si $\frac 1 r \not \in [ k_{min},k_{max} ]$.