Límite de aproximación sucesiva

Question

Quiero calcular el límite cuando $n\rightarrow \infty$de la aproximación sucesiva \begin{equation*}y_{n+1}(x)=1+\int_0^xty_n(t)\, dt\end{ecuación*} con $y_0(x)=1$, $x\in [-1,1]$.

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Tenemos que \begin{align*}&y_0(x)=1 \\ &y_{1}(x)=1+\int_0^xty_0(t)\, dt=1+\int_0^xt\cdot 1\, dt=1+\int_0^xt\, dt=1+\frac{x^2}{2} \\ &y_{2}(x)=1+\int_0^xty_1(t)\, dt=1+\int_0^xt\left (1+\frac{t^2}{2}\right ) \, dt=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}\end{align*} ¿tenemos que encontrar una fórmula general para $y_{n+1}(x)$ o, ¿cómo podemos calcular el límite ?

Answer 1

En el límite de lo que vas a obtener $$y(x)=1+\int_0^xty(t)dt$$ que en virtud de la diferenciación dará la ecuación diferencial: $$\frac{dy}{dx}=x\ y(x)\quad,\quad\mbox{y(0)=1}$$ que puede ser resuelto fácilmente para obtener $$y(x)=e^{\frac{x^2}{2}}$$ que al expandirse es $$y(x)=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{48}+...$$