Calcular binomio suma

Question

Tengo un problema con la siguiente suma de $n \ge k \ge 0$: $$\sum_{i=0}^k (-1)^i i \binom{n}{i} \binom{n}{k-i}$$

He intentado utilizar $i\binom{n}{i} = n\binom{n-1}{i-1}$ que me dan la forma $$n\sum_{i=1}^k (-1)^i \binom{n-1}{n-i} \binom{n}{k-i}$$

y aquí me quedé.

Answer 1

Empezamos con el OPs segunda forma omitiendo el factor de $n$. Es conveniente utilizar el coeficiente de operador $[z^k]$ para denotar el coeficiente de $z^k$ en una serie. De esta manera podemos escribir por ejemplo $$\begin{align*} [z^k](1+z)^n=\binom{n}{k}\tag{1} \end{align*}$$

Obtenemos para $1\leq k\leq n:$ $$\begin{align*} \color{blue}{\sum_{i=1}^k}&\color{blue}{(-1)^{i}\binom{n-1}{n-i}\binom{n}{k-i}}\\ &=\sum_{i=0}^{k-1}(-1)^{i+1}\binom{n-1}{i}\binom{n}{k-1-i}\tag{2}\\ &=\sum_{i=0}^\infty(-1)^{i+1}[z^{k-1-i}](1+z)^n[u^i](1+u)^{n-1}\tag{3}\\ &=-[z^{k-1}](1+z)^n\sum_{i=0}^\infty(-z)^i[u^i](1+u)^{n-1}\tag{4}\\ &=-[z^{k-1}](1+z)^n(1-z)^{n-1}\tag{5}\\ &=-([z^{k-1}]+[z^{k-2}])(1-z^2)^{n-1}\tag{6}\\ &=\left\{\begin{array}{rc} \color{blue}{(-1)^{\frac{k}{2}}\binom{n-1}{k/2-1}}&\qquad\color{blue}{ k\equiv 0(2)}\\ \color{blue}{(-1)^{\frac{k+1}{2}}\binom{n-1}{(k-1)/2}}&\qquad \color{blue}{k\equiv 1(2)} \end{array}\right.\la etiqueta{7} \end{align*}$$

Comentario:

• En (2) nos cambio el índice de $i$ a empezar con $i=0$ y utilizar el binomio identidad $\binom{p}{q}=\binom{p}{p-q}$.

• En (3) se aplica el coeficiente de operador dos veces. También ampliamos el rango superior de la serie a $\infty$ sin cambiar nada, ya que estamos añadiendo ceros sólo.

• En (4) vamos a hacer algunos cambios y el uso de la linealidad del coeficiente de operador y aplicar la regla de $[z^{p-q}]A(z)=[z^p]z^qA(z)$.

• En (5), usamos la sustitución de la regla de que el coeficiente de operador con $u=-z$ $$\begin{align*} A(z)=\sum_{i=0}^\infty a_iz^i=\sum_{i=0}^\infty z^k[u^i]A(u) \end{align*}$$

• En (6), usamos la linealidad del coeficiente de operador de nuevo a tragar un factor de $(1+z)$.

• En (7) seleccionamos el coeficiente de $[z^{k-2}]$ resp. $[z^{k-1}]$ , según los pares e impares $k$.

Answer 2

Observar que $$\begin{align} \sum_{i=0}^k (-1)^i i \binom{n}{i} \binom{n}{k-i}&=[x^k]\left[ -nx(1-x)^{n-1}\times(1+x)^n \right]\\ &=[x^{k-1}]\left[\frac{-n}{1-x}(1-x^2)^{n}\right]\\ &=-\sum_{m=0,\, \text{even}}^{k-1}n\binom{n}{m/2}(-1)^{m/2} \end{align}$$