$\Bbb C$ como cociente de $\prod_{p~\text{prime}} \Bbb F_p$

Question

Recuerdo un resultado que indica que $\Bbb C$ como un campo puede ser realizada como un cociente del anillo de $\displaystyle \prod_{p~\text{prime}} \Bbb F_p$ o algo similar. ¿Alguien tiene la precisa instrucción y/o referencias?

Answer 1

La verdad es la siguiente : vamos a $\mathcal{U}$ libre de ultrafilter en el conjunto de los números primos $P$. A continuación, $\mathbb{C}$ es isomorfo al cociente de $R=\displaystyle\prod_{p\in P}\overline{\mathbb{F}_p}$ por el ideal $I=\{x\in R\mid \{i\in P\mid x_i=0\}\in\mathcal{U}\}$; en caso de $\overline{\mathbb{F}_p}$ es la clausura algebraica de $\mathbb{F}_p$. Este cociente se denota también el $\displaystyle\prod_{p\in P}\overline{\mathbb{F}_p}/\mathcal{U}$.

De hecho, es fácil demostrar, por Los del teorema que este cociente es un algebraicamente cerrado campo de la característica $0$; y un poco de combinatoria muestra que esto ha cardenal $2^{\aleph_0}$.

Ahora un teorema de modelo de la teoría garantiza que cualquiera de los dos algebraicamente cerrado campos de la característica $0$ y de la misma incontables cardinalidad son isomorfos; por lo que la conclusión de la siguiente manera.

Voy a agregar un poco innecesario nota porque de otra respuesta a esta pregunta (que fue eliminado): la estructura de los máximos ideales de un infinito producto de los anillos es muy difícil en general, pero muy fácil para los campos: si $k_i, i\in I$ son campos, entonces la máxima ideales de $\displaystyle\prod_{i\in I}k_i$ son precisamente los que dan algunos de ultrafilter en $I$ como en lo que precede. Por lo tanto, hay $|I|$ muchos máxima ideales para un finito $I$ (los coeficientes son los $k_i$) y $2^{2^{|I|}}$ infinidad de $I$. Esto también funciona para bilaterales ideales de la división de los anillos