Ejemplo de que la unión de aumento de sigma álgebra de operadores no es un sigma álgebra

Question

Si $\mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \dotsb$ son de sigma álgebra de operadores, lo que está mal con la que reclama $\cup_i\mathcal{F}_i$ es un sigma álgebra?

Parece cerrado bajo complementar ya que para todas las $x$ en la unión, $x$ pertenecen a $\mathcal{F}_i$, y así debe su complemento.

Parece cerrado bajo contables de la unión, ya que para cualquier contables de los sindicatos de $x_i$ dentro de él, cada una de las $x_i$ debe ser en algunos $\mathcal{F}_j$, y así podemos detener la secuencia en cualquier momento y tomar el mayor $j$ y sabemos que todas las $x_i$'s hasta que punto están en $\mathcal{F}_j$, y por lo tanto así debe ser su unión. Debe haber algún contraejemplo, pero yo no lo veo.

Answer 1

El problema surge en el contable de la unión; su argumento es correcto, como se como va, pero por el hecho de que $\cup_{i=1}^n x_i\in \cup_{i=1}^{\infty}F_i$ por cada $n$ usted puede llegar a la conclusión de que $\cup_{i=1}^{\infty} x_i$ se encuentra en $\cup_{i=1}^{\infty} F_i$: la completa unión debe estar en una de las $F_j$ a fin de estar en $\cup_{i=1}^{\infty}F_i$.

Para un ejemplo claro, tome $X=\mathbb{N}$; deje $F_n$ ser el sigma álgebra que consta de todos los subconjuntos de a $\{1,\ldots,n\}$ y sus complementos en $X$. Ahora vamos a $x_i=\{2i\}$. A continuación, cada una de las $x_i$$\cup F_i$, pero la unión no se encuentran en ninguna de las $F_k$, por lo tanto no radica en $\cup F_i$.

Añadido: En este ejemplo, $\cup_{i=1}^{\infty}F_n$ es el álgebra de subconjuntos de a $X$ que consta de todos los subconjuntos que son finito o cofinite, por lo que cualquier subconjunto infinito, con infinitas complemento no se encuentran en la unión, y un conjunto siempre puede ser expresado como una contables de la unión de elementos de $\cup F_i$.

Answer 2

Algo más drástico es cierto: Si $\langle \mathcal{F}_n: n \geq 1\rangle$ es estrictamente creciente secuencia de sigma álgebra de operadores sobre algunos de $X$ $ \bigcup_{n \geq 1} \mathcal{F_n}$ no es un sigma álgebra. Como corolario, no hay countably infinito sigma álgebra. Véase, por ejemplo, "Un comentario sobre los sindicatos de sigma campos, A. Broughton, B. Huff, American mathematical monthly, 1977, Vol. 84 Nº 7, pp 553-54".

Answer 3

Vamos $\Omega=[0,1]$, $A_{0}= \{\emptyset, \Omega \}$ y $A_{k}=\sigma \{[0,\frac{1}{2^k}],[\frac{1}{2^k},\frac{2}{2^k}],[\frac{2}{2^k},\frac{3}{2^k}],.....,[\frac{2^k-1}{2^k},1]\}$

pick número irracional $x\in(0,1)$ y secuencia $s_{1},s_{2},...$ convergentes a $x$ desde la izquierda (representación binaria permite encontrar la secuencia de $A_{i}$'s). A continuación,$(x,1]=\cap_{i=1}^{\infty}(s_{i},1] \in \cup_{i=0}^{\infty} A_{i}$. A continuación,$x \in\cup_{i=0}^{\infty} A_{i} $, Pero para todos los k fijos $A_{k}$ contiene sólo números racionales y los intervalos.

Answer 4

Por la continuidad, el conjunto de $\mathcal{F}_{i}$'s convergen para el conjunto de $\cup_{i=1}^{\infty}\mathcal{F}_i$. La limitación es $\sigma$-álgebra por la definición del problema. Lo que no es válido acerca de este argumento?