Norma de lineal funcional en $l_1$

Question

Me gustaría un poco de ayuda para resolver la siguiente pregunta:

Deje $(a_i)$ ser una secuencia en $\mathbb{R}$ tal que $\sum_{i=1}^\infty a_ix_i< \infty$ todos los $(x_i)\in l_1(\mathbb{R})$. Mostrar que $(a_i)\in l_\infty$.

Mi intento. Para cada $n\in \mathbb{N}$, $f_n:l_1\rightarrow \mathbb{R}$ $f_n(x)=\sum_{i=1}^na_ix_i$ donde $x=(x_i)$. Claramente, $f_n$ es un funcional lineal en $l_1$. Por otra parte, desde $$|f_n(x)|\leq \sum_{i=1}^n|a_ix_i|\leq \max_{1\leq i\leq n}|a_i| \cdot \|x\|_1,$$ $f_n$ is bounded. I know if I get $\|f_n\|= \max_{1\leq i\leq n}|a_i|$, I can use the uniform boundedness principle to obtain the result. However, I couldn't find an element $x\in l_1$ such that $$\frac{|f_n(x)|}{\|x\|_1}= \max_{1\leq i\leq n}|a_i|.$$ estaré agradecido por cualquier sugerencia. Gracias de antemano!

Answer 1

Pick $k \leqslant n$ tal que $\lvert a_k\rvert = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} \lvert a_i\rvert$. Entonces

$$\lvert f_n(e_k)\rvert = \lvert a_k\rvert = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} \lvert a_i\rvert \cdot \lVert e_k\rVert_1$$

para $e_k$ $k^{\text{th}}$ estándar de la unidad de vectores, es decir,

$$(e_k)_i = \begin{cases} 1 &\text{if } i = k \\ 0 &\text{if } i \neq k \end{cases}\,.$$