Criterio de submódulos para anillos sin 1

Question

En la sección 10.1 (página 342) de la obra de Dummit & Foote Álgebra abstracta En la actualidad, se afirma lo siguiente:

Propuesta 1. (El criterio del submódulo) Dejemos que $R$ sea un anillo y que $M$ ser un $R$ -módulo. Un subconjunto $N$ de $M$ es un submódulo de $M$ si y sólo si

(1) $N \neq \emptyset$ y

(2) $x + ry \in N$ para todos $r \in R$ y para todos $x, y \in N$ .

Esta proposición establece que $R$ es simplemente un anillo, no es que tenga identidad. En la siguiente definición, dicen específicamente "un anillo conmutativo con identidad". En la definición de un módulo al principio de la sección, destacan que $R$ no es "necesariamente conmutativo ni con 1". Sin embargo, la prueba procede como sigue:

Prueba: Si $N$ es un submódulo, entonces $0 \in N$ así que $N \neq \emptyset$ . También $N$ es cerrado bajo adición y se envía a sí mismo bajo la acción de elementos de $R$ . A la inversa, supongamos que (1) y (2) se cumplen. Sea $r = -1$ y aplicar el criterio de subgrupo (en forma aditiva) para ver que $N$ es un subgrupo de $M$ . En particular, $0 \in N$ . Ahora dejemos que $x = 0$ y aplicar la la hipótesis (2) para ver que $N$ se envía a sí mismo bajo la acción de $R$ . Esto establece la proposición.

Evidentemente, al dejar que $r = -1$ Esta prueba supone que $R$ tiene identidad.

Ahora, considere $R = 4\mathbb{Z}$ que es un anillo sin identidad. Entonces, $4 \mathbb{Z}$ actos en el plató $M = \mathbb{Z}$ por $r \cdot m = rm$ es decir, por multiplicación normal. Es evidente que la distributividad y la asociatividad se heredan, por lo que $\mathbb{Z}$ es una izquierda $4\mathbb{Z}$ -módulo.

Tome $N = 4\mathbb{Z} \cup (3 + 4\mathbb{Z})$ es decir, el subconjunto de enteros congruentes con $3$ o $0$ modulo $4$ . Ciertamente, $N \neq \emptyset$ . Si $x, y \in N$ entonces $x + ry \equiv x \pmod{4}$ para cualquier $r \in R$ para que $x + ry \in N$ .

Por lo tanto, por la Proposición 1, $N$ debe ser un $4\mathbb{Z}$ -submódulo de $\mathbb{Z}$ . Pero $N$ no es un grupo abeliano porque $3 \in N$ pero $-3 \equiv 1 \pmod{4}$ no está en $N$ .

He revisado la fe de erratas, pero no he visto esto en la lista. También he comprobado otros libros de texto, pero puede ser difícil determinar cuándo asumen la identidad o no, ya que a menudo hay una frase en alguna parte anterior del libro que dice que todos los anillos se asumen unitales. También he encontrado la siguiente definición alternativa:

Definición . Sea $N$ sea un subconjunto del $R$ -Módulo $M$ . Entonces $N$ es un submódulo de $M$ si y sólo si se cumple lo siguiente:

(1) $N \neq \emptyset$ y

(2) $rx + sy \in N$ para todos $r, s \in R$ y $x, y \in N$ .

Sin embargo, con esta definición, todavía se pueden encontrar contraejemplos similares.

Preguntas :

• ¿Estoy en lo cierto al considerar que se trata de un error?
• ¿Existe un "criterio de submódulo" que funcione para los anillos $R$ ¿sin identidad?

Answer 1

Después de pensarlo un poco, creo que tienes razón, se trata de un descuido ya que creo que los autores pretendían que el anillo fuera unital - como se evidencia claramente en su prueba y en su restricción de que todos los ejercicios del capítulo deben suponer que son anillos unitales. Para tu segunda pregunta, creo que un requisito mínimo sería utilizar tu segunda definición y añadir una tercera condición de que la acción del grupo por $R$ est fiel en $N$ o que el núcleo de la acción del anillo sobre $N$ está vacía, de modo que podemos garantizar la inversa aditiva de todos los elementos de $N$ también están en $N$ (dejaré que lo pienses si no es inmediato) y así puedes usar el criterio de subgrupo aditivo para terminar la prueba. No se me ocurre una condición más débil que esa. Buena observación.

Answer 2

Creo que $N$ debe estar cerrado bajo toda la estructura especificada por $M$ , es decir $N$ es un $+$ -subgrupo de $M$ y $N$ es cerrado bajo la multiplicación escalar. En total, deberíamos tener

1. $N\neq \emptyset$
2. $N-N\subseteq N$
3. $R\cdot N \subseteq N$

A menos que me esté olvidando de algo importante...