Mapas homotópicos idempotentes sobre un producto finito de esferas

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. Un mapa continuo $h:X\longrightarrow X$ se llama idempotente homotópico si $h\circ h\simeq h$ .

Mi pregunta es:

¿Cuál es el número de clases de homotopía de los mapas idempotentes de homotopía $h:\prod_{n\in I}(\prod_{i_n}\mathbb{S}^n ) \longrightarrow \prod_{n\in I}(\prod_{i_n}\mathbb{S}^n )$ , donde $i_n$ denota el número de copias de $\mathbb{S}^n$ (un producto finito de esferas de igual o distinta dimensión), donde $I$ es un subconjunto finito de $\mathbb{N}$ ?

Answer 1

Esto parece difícil en general, ya que las clases de homotopía de los mapas entre esferas es un problema famoso y no resuelto. ¡Me gusta!

Un caso especial que es manejable (al menos para mí) es un auto-mapa del $n$ -toro $f: (S^1)^n \to (S^1)^n$ . Porque el $n$ -tiene una cubierta universal contraíble que es un grupo, dos endomorfismos cualesquiera del $n$ -toro que coinciden en $\pi_1$ son homotópicas (su diferencia se eleva a $\mathbb{R}^n$ y por lo tanto es nulo-homotópico). Por lo tanto, los endomorfismos homotópicos del $n$ -(que tienen una estructura de grupo del toro, lo que los convierte en un anillo con composición) son isomorfos como anillo al anillo de $n\times n$ matrices enteras. Hay infinitos idempotentes $n\times n$ matrices enteras para $n>1$ .