Cómo calcular$\sum_n(2n - \sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1})$?

Question

Cómo calcular$\sum_n (2n - \sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1})$? Intenté de dos maneras:

1. \begin{align*} (2n - \sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}) &= n - \sqrt{n^2+1} + n -\sqrt{n^2-1} \\ &= \frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}}-\frac{1}{n-\sqrt{n^2+1}}, \end {align *} pero no sé cómo hacerlo más tarde.

2. \begin{align*} (2n - \sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}) &= 2n - \frac{(\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2-1})}{1} \\ &= 2n - \frac{2}{\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1}}, \end {align *} pero no sé cómo hacerlo más tarde también.

Answer 1

Comenzando con Sangchul Lee integral de la representación (que es una consecuencia de la transformada de Laplace) $$ S = \int_{0}^{+\infty}\frac{I_1(x)-J_1(x)}{x(e^x-1)}\,dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{e^{-x\cos\theta}-e^{ix\cos\theta}}{e^x-1}\sin^2\theta\,d\theta\,dx \tag{1}$$ y aplicando el teorema de Fubini nos metemos $$ S = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[\psi(1-i\cos\theta)-\psi(1+\cos\theta)\right]\sin^2\theta\,d\theta \tag{2}$$ donde $$\begin{eqnarray*} S &=& \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\left[\psi(1-i\cos\theta)+\psi(1+i\cos\theta)-2\psi(1-\cos\theta)\right]\sin^2\theta\,d\theta\\&=&\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[\log\Gamma(1-\cos\theta)-\text{Im}\,\log\Gamma(1-i\cos\theta)\right]\cos\theta\,d\theta \tag{3}\end{eqnarray*}$$ permite una eficiente evaluación numérica de $S$ a través de la integración de técnicas (compuesto de la regla de Simpson o de cuadratura de Gauss): $$ S \approx 0.6369740582412\tag{4} $$ pero no creo que el $S$ tiene una simple forma cerrada en términos de la norma constantes matemáticas.
Tenemos una situación similar aquí.

Answer 2

Supongamos que necesita calcular la suma infinita con$$a_n=2n - \sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-1}$ $ For large values of $% n$, rewrite $$a_n=n\left(2- \sqrt{1+\frac 1{n^2}}- \sqrt{1-\frac 1{n^2}}\right)$ $ y usa la expansión binomial o la serie de Taylor para obtener$$a_n=\frac{1}{4 n^3}+\frac{5}{64 n^7}+O\left(\frac{1}{n^{11}}\right)$ $ Entonces,$$\sum_{n=1}^\infty a_n\approx\sum_{n=1}^p a_n+\frac 14 \sum_{n=p+1}^\infty \frac{1}{ n^3}=\sum_{n=1}^p a_n-\frac{1}{8}\psi ^{(2)}(p+1)\approx \sum_{n=1}^p a_n +\frac 1 {8 p^2}$ $

Si usamos$p=10$, la primera suma es$\approx 0.635843$, el término de corrección es$0.00125$ haciendo un total de$0.637093$ mientras que la suma infinita parece ser$\approx 0.636974$. Por supuesto, si aumentamos$p$, nos acercaremos más y más.

Ahora, la pregunta es: ¿qué es este número?