Algunas veces, una serie de tiempo puede necesitar ser diferenciada para ser estacionaria. Sin embargo, no entiendo cómo la diferenciación de segundo orden puede ayudar a mantenerla estacionaria cuando la diferenciación de primer orden no es suficiente.
¿Podría dar una explicación intuitiva para la diferenciación de segundo orden y los casos en que se necesita?
La diferenciación de segundo orden es el discreto analogía con la segunda derivada. Por un tiempo discreto de la serie, el segundo orden de la diferencia que representa la curvatura de la serie en un punto dado en el tiempo. Si el segundo orden de la diferencia es positiva, entonces el tiempo de la serie se curva hacia arriba en ese momento, y si es negativa, entonces la serie de tiempo se curva hacia abajo en ese momento.
El segundo orden de la diferencia de tiempo discreto de la serie $\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$ tiempo $t$ es:
$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$
Esto es positivo si $\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$ y negativo si $\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$ (y cero si $\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$). Si hay más arriba (menos hacia abajo) cambio en la serie en este momento que en la vez anterior, no hay curvatura positiva, y si hay menos hacia arriba (más abajo) cambio en la serie en este momento que en la vez anterior, no hay curvatura negativa.
Dos pensamientos:
La recursividad. Después de primer orden de la diferencia, ¿qué tienes? En otro momento de la serie que es, bajo las condiciones adecuadas, más cerca de estacionario. Si no está lo suficientemente cerca, ahora tiene una serie de tiempo no estacionaria y desea mover más cerca de papelería, así que tome un primer orden de diferencia. (Que pasa a ser un segundo orden de la diferencia de la hora original de la serie). Si la diferencian de la serie de tiempo no es lo suficientemente cerca como para papelería, ... [recurso] ...
Los derivados. Imagine que usted registre su coche de GPS de la ubicación de cada 10 minutos. Si yo pudiera tener el GPS de los puntos de dos días y de mostrar a usted y usted no podía averiguar qué día podría haber sido ... tal vez ni siquiera podía decir realmente un día de otro, los datos de su ubicación sería estacionaria.
Pero digamos que condujo a otra ciudad cercana cada día durante dos semanas? Te gustaría ser fácilmente capaz de decir la diferencia entre los días quizás incluso sabiendo exactamente que día me estaba mostrando. No estacionaria.
Tal vez si en lugar de grabado su distancia desde la casa de cada 10 minutos, hacer que sus datos más inmóvil. La distancia no incluyen dirección, así que tal vez ahora los datos para esas dos semanas sería prácticamente el mismo aspecto? (El promedio de la localidad es el hogar, por ejemplo).
Decir, en cambio, que la eligió para conducir de Nueva York directamente a través de Los Ángeles. La distancia truco no funcionaría, ya que su distancia gustaría darle una muy clara distinción entre días.
Pero usted puede, a continuación, elija grabar su velocidad cada 10 minutos en lugar de. Conducir a través del país en el sistema interestatal, días tienden a buscar un mucho por igual, la velocidad de sabio. Es decir, su velocidad sería estacionaria.
La diferencia (grueso derivados) de las ubicaciones de GPS es la distancia. La diferencia (grueso derivado) de distancia es la velocidad. Y el siguiente paso sería la aceleración.
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