¿Cómo mostrar un polinomio racional es irreducible en $\mathbb{Q}[a,b,c]$?

Question

<blockquote> <p>¿Cómo demostrar que un polinomio racional es irreducible en $\mathbb{Q}[a,b,c]$? Por ejemplo, trato de mostrar este polinomio $$p(a,b,c)=a(a+c)(a+b)+b(b+c)(b+a)+c(c+a)(c+b)-4(a+b)(a+c)(b+c)(*)$$ is irreducible, where $a,b,c\in \mathbb{Q}$.</p> </blockquote> <p>El problema relacionado es <a href="https://math.stackexchange.com/questions/2779545/ask-for-the-rational-roots-of-fracabc-fracbac-fraccab-4">preguntar por las raíces racionales de $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=4.$</a>. ¿Podría considerar el % de puntos se cruzan $(*)$$L_{\infty}$son tres? $L_{\infty}$ es la línea del infinito en un espacio proyectivo $\mathbb{C}P^2$.</p>

Answer 1

Supongamos que el contrario que $p(a,b,c)$ es reducible $\mathbb{Q}$. Puede escribir $p(a,b,c)$ $$a^3+b^3+c^3-3(b+c)a^2-3(c+a)b^2-3(a+b)c^2-5abc\,.$ $ basta para considerar $p(a,b,c)$ como un polinomio en $\mathbb{F}_3$ (¿por qué?). $\mathbb{F}_3$, $$p(a,b,c)=a^3+b^3+c^3+abc=a^3+(bc)a+(b+c)^3\,.$ $ Ya que es homogénea de grado $p(a,b,c)$ $3$ y reducible, tiene un factor lineal $a+ub+vc$ $u,v\in\mathbb{F}_3$. Claramente, debemos tener $ub+vc \mid (b+c)^3$, donde $u=v=1$ o $u=v=-1$. Sin embargo, ambas opciones son imposibles por cómputo directo.

Answer 2

Para preguntar acerca completa (tres lineal factor) reducibilidad sobre los complejos, tomamos la matriz Hessiana de la segunda parciales. Las entradas son lineales en las variables. A continuación, vamos a $\Delta$ ser el factor determinante del estado de Hesse. Esta $\Delta$ es de nuevo una forma cúbica. El original cúbicos (homogéneo) ternario factores de forma por completo si y sólo si $\Delta $ es una constante múltiples de la misma. He terminado esta primera prueba, su cúbicos no es un factor completamente.

Más difícil si el cúbicos puede ser lineal veces una irreductible cuadrática. En ese caso, todavía hay una prueba concluyente:

Para su problema, los coeficientes en orden de $0$ $9$ $$ 1,-3,-3,-3,-5,-3,1,-3,-3,1 $$ donde el mejor aspecto del diagrama es un triángulo como en los bolos. El $-5$ se refiere a $-5abc \; ,$ $1$s se refieren a $a^3,b^3,c^3 \; .$

Bien, yo wote un pequeño programa para escribir correctamente las 8 a las diez de la matriz, a continuación, poner en gp-Pari. El original polinomio es irreducible sobre los números complejos.

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? 
?  sch = [ 0, 3, 0, -6, -6, 0, -3, -5, -3, 0; 0, 0, 3, 0, -6, -6, 0, -3, -5, -3; -3, -6, -5, 3, -6, -3, 0, 0, 0, 0; 0, 0, -3, 0, -6, -5, 0, 3, -6, -3; -3, -5, -6, -3, -6, 3, 0, 0, 0, 0; 0, -3, 0, -5, -6, 0, -3, -6, 3, 0; 1, 0, -3, 3, 0, -3, -2, 3, 0, 1; 1, -3, 0, -3, 0, 3, 1, 0, 3, -2]
%25 = 
[ 0  3  0 -6 -6  0 -3 -5 -3  0]

[ 0  0  3  0 -6 -6  0 -3 -5 -3]

[-3 -6 -5  3 -6 -3  0  0  0  0]

[ 0  0 -3  0 -6 -5  0  3 -6 -3]

[-3 -5 -6 -3 -6  3  0  0  0  0]

[ 0 -3  0 -5 -6  0 -3 -6  3  0]

[ 1  0 -3  3  0 -3 -2  3  0  1]

[ 1 -3  0 -3  0  3  1  0  3 -2]

? matrank(sch)
%26 = 8
? 
? 
? 

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