Hace poco vi un problema similar en Internet, pero encontré el área de una manera completamente diferente.
Problema:
Hay un unidad cuadrado, es decir, un cuadrado con una longitud lateral igual a $ \text 1$ . Se colocan dos líneas dentro del cuadrado. Llamémoslas $ \color {red}{ \text {Line 1}}$ y $ \color {blue}{ \text {Line 2}}$ .
$ \color {red}{ \text {Line 1}}$ es recta - Comienza en un vértice e intersecta el cuadrado exactamente a la mitad en el borde opuesto.
$ \color {blue}{ \text {Line 2}}$ es curvo - Es un cuarto de círculo con radio, $r$ la misma longitud que el cuadrado, es decir. $r=1$ .
El siguiente diagrama muestra la representación de la descripción proporcionada arriba (No soy un matemático geométrico así que perdone mis descripciones elementales - por favor):
El objetivo es encontrar la zona $A$ .
Mi intento:
Mi intuición fue la de restar áreas de inmediato. Así que encontrar el área del cuarto de círculo y restar el área bajo la intersección de $ \color {red}{ \text {Line 1}}$ y $ \color {blue}{ \text {Line 2}}$ . Así que en el siguiente diagrama encuentro el área $A+B+C$ y restar el área $B$ y el área $C$ :
Ahora claramente el área $A+B+C$ es simplemente el área de un cuarto de círculo. Esto es: $$Area(A+B+C)= \frac { \pi r^2}4= \frac \pi4 $$
A continuación, encuentro el punto de intersección en el plano cartesiano del $ \text 2$ (donde las líneas rojas y azules se cruzan). Asumo que el punto inferior izquierdo del cuadrado representa las coordenadas $(0,0)$ .
Por lo tanto, el $ \color {red}{ \text {Line 1}}$ tiene una ecuación: $$y=-2x+1$$
Y $ \color {blue}{ \text {Line 2}}$ líneas tiene ecuación: $$y= \sqrt {1-(x-1)^2}$$
La intersección está en: $$-2x+1= \sqrt {1-(x-1)^2} \implies (-2x+1)^2=1-(x-1)^2$$ $$ \implies 4x^2-4x+1=-x^2+2x$$ $$ \implies 5x^2-6x+1=0 \implies (5x-1)(x-1)=0 \implies x=- \frac 15$$
Entonces tenemos $y=-2x+1=-2 \frac 15 +1 = \frac 35$ así que las coordenadas de intersección (dentro del cuadrado) son $ \left ( \frac 15, \frac 35 \right )$ .
Entonces el área $B$ es simplemente el área de un triángulo, con la altura $h$ y la base $b$ : $$h= \frac 35 \ , \ b= \frac 12 - \frac 15= \frac 3{10}$$ $$ \therefore Area(B)= \frac 12 bh= \frac 12 \frac 3{10} \frac 35= \frac 9{100}$$
Ahora para el área $C$ es simplemente el área bajo la curva de un (semi) círculo entre el $x$ -coordinadas $x=0$ y $x= \frac 15$ . Claramente esta no es la integral más clara, así que sólo cambiamos las coordenadas del círculo y el área se convierte:
$$Area(C)= \int_0 ^{1/5} \sqrt {1-(x-1)^2}dx$$ $$= \int_ {-1}^{-4/5} \sqrt {1-x^2}dx= \left [ \frac 12 \left (x \sqrt {1-x^2}+ \sin ^{-1}(x) \right ) \right ]_{-1}^{-4/5}$$ $$=- \frac 6{25}+ \frac \pi 4 - \frac 12 \sin ^{-1} \left ( \frac 45 \right )$$
Poniendo todo junto lo conseguimos:
$$Area(A)=Area(A+B+C)-Area(B)-Area(C)$$ $$= \frac \pi4 - \frac 9{100} - \left [- \frac 6{25}+ \frac \pi 4 - \frac 12 \sin ^{-1} \left ( \frac 45 \right ) \right ]$$ $$= \frac 3{20}+ \frac 12 \sin ^{-1} \left ( \frac 45 \right )$$ $$ \approx 0.61365$$
Mi pregunta:
¿Es este el mejor enfoque? ¿Lo he hecho bien? ¿Hay un método más simple o más limpio? ¿Y qué cambiaría si calculamos cualquiera de las otras 3 áreas?
Gracias de antemano.
